Exercícios Resolvidos de Princípios da Interferência

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Enunciado

Considere duas fontes luminosas de ondas de mesmo comprimento de onda λ , mas que são geradas com uma diferença de fase igual a π . As duas fontes estão separadas por uma distância d = 9 λ / 2 .

Considere um observador que mede a intensidade da luz resultante, situado na linha reta que une as duas fontes, a uma distância x de uma delas. Se este observador se mover ao longo do eixo x ele verá:

a ) Pontos de máximo e mínimo de intensidade quando variar x .

b ) Regiões de intensidade máxima para qualquer x .

c ) Regiões de intensidade mínima para qualquer x .

d ) Com os dados fornecidos não é possível afirmar nada.

e ) Nenhuma das respostas anteriores.

Passo 1

Vamos imaginar o observador a uma distância x de uma das fontes, na linha que liga ambas as fontes.

Antes de mais nada, a luz enviada pelas duas fontes já tem de cara uma diferença de fase de π radianos. Vamos considerar que a diferença de fase é a fase da fonte 2 menos a da fonte 1.

Δ ϕ i n = π

Além dela temos uma diferença de fase devido à diferença entre os percursos percorridos pela luz da fonte 1 e da fonte 2.

Δ ϕ c a m i n h o = Δ r λ

Mas para ver essa diferença de fase, precisamos ver qual o valor de Δ r . Pela figura:

Δ r = d - x - x = d - 2 x

Para facilitar as contas (evitar números negativos), vamos considerar que esse valor seja sempre positivo, ou seja:

0 < x < d / 2

O motivo disso é que, na verdade, a diferença de percurso deveria ser o módulo da nossa subtração. Quando x > d / 2 , a nossa subtração daria negativa, e seu módulo seria 2 x - d .

Substituindo tudo, a diferença de fase total fica:

Δ ϕ = Δ ϕ i n + Δ ϕ c a m i n h o = π + 2 π d - 2 x λ

Pelo enunciado, a distância é:

d = 9 λ 2

Assim:

Δ ϕ = π + 2 π 9 λ 2 - 2 x λ = π + 2 π 9 2 - 2 π 2 x λ

Δ ϕ = 10 π - 4 π x λ

Passo 2

Para que essa interferência seja construtiva, é necessário que:

Δ ϕ = 2 π m

m = 1 ,   2 ,   3 ,   …

Para isso, os valores de x teriam que ser:

2 π m = 10 π - 4 π x λ

m = 5 - 2 x λ

5 - m λ = 2 x

x = 5 - m 2 λ

Se formos substituindo os valores de m , notaremos que, até a metade do caminho, ele vê cinco pontos de máximo.

m = 1 → x = 2 λ = 4 9 d

m = 2 → x = 3 2 λ = 3 9 d

m = 3 → x = λ = 2 9 d

m = 4 → x = 1 2 λ = 1 9 d

m = 5 → x = 0

Eu substitui λ = 2 d / 9 pra termos mais claro em que lugar da reta a pessoa irá ver aquele ponto de máximo.

Para ele enxergar uma interferência destrutiva:

Δ ϕ = 2 π m + 1 2

Com isso:

2 π m + 1 2 = 10 π - 4 π x λ

m + 1 2 = 5 - 2 x λ

m + 1 2 - 5 = - 2 x λ

x = 9 - 2 m 4 λ

Repetindo o raciocínio anterior, poderemos observar que ele verá quatro pontos de mínimo.

m = 1 → x = 7 4 λ = 3,5 9 d

m = 2 → x = 5 4 λ = 2,5 9 d

m = 3 → x = 3 4 λ = 1,5 9 d

m = 4 → x = 1 4 λ = 0,5 9 d

Ou seja, esses cálculos deixam claro que ele vai ver pontos de máximo e mínimo intercalados, com uma distância de 0,5 9 d entre um máximo e o mínimo que vem logo depois e o que vem logo antes.

Com isso, a resposta certa é a letra (a), pontos de máximo e mínimo de intensidade quando variar x .

Resposta

Letra (a), pontos de máximo e mínimo de intensidade quando variar x .

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