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Exercícios Resolvidos de Produto Vetorial

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Exercício 151234567891011121314

Enunciado

UFABC – Fundamentos de Mecânica – Lista 1 – Questão 9

As coordenadas dos três vértices de um triângulo são (2,1,5), (5,2,8) e (4,8,2). Calcule a área usando o método vetorial

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos relembrar como calculamos a área de um triângulo com os pontos de seus vértices? Vamos considerar que os pontos A, B, C sejam os vértices de um triângulo qualquer!

Para determinar a área precisamos primeiro determinar dois vetores: um saindo de A até B, e outro saindo de A até C.

Depois disso precisamos fazer o produto vetorial entre esses dois vetores! O produto vetorial entre dois vetores é:

a → × b → = i ^ j ^ k ^ a x a y a z b x b y b z

E resolve esse determinante! E acha o módulo desse vetor!

Com esse valor na mão: a área é a metade dele!

Então a área é:

S = 1 2 a → × b →

Beleza? Mas calma, vou fazer junto com você!

Passo 2

Os pontos são

A ( 2,1 , 5 )

B   ( 5,2 , 8 )

C ( 4,8 , 2 )

Agora vamos calcular os vetores A B e A C :

A B → = B - A = 5,2 , 8 - 2,1 , 5 = 3,1 , 3

A C → = C - A = 4,8 , 2 - 2,1 , 5 = 2,7 , - 3

Tranquilo?

Passo 3

Agora vamos calcular o produto vetorial entre esses dois vetores:

A B → × A C → = i ^ j ^ k ^ 3 1 3 2 7 - 3 = i ^ - 3 - 21 + j ^ 6 + 9 + k ^ 21 - 2 = ( - 24 ,   15 ,   19 )

Tudo bem? Vamos calcular o módulo desse vetor?

Passo 4

O módulo de um vetor é:

a → = a x 2 + a y 2 + a z 2

Então agora é só substituir:

A B → × A C → = - 24 2 + 15 2 + 19 2 = 34,09

Passo 5

Por fim, a área desse triângulo será a metade do módulo que encontramos no passo anterior:

S = 1 2 A B → × A C → = 34,09 2 = 17,04

E é isso!

Espero ter ajudado!

Resposta

17,04

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