Exercícios Resolvidos de Produto Vetorial

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Enunciado

Por meio de desenhos simples dos produtos vetoriais aproximados, demonstre que | A →   x   B → | pode ser interpretado como o produto do módulo de A → vezes o componente de B → perpendicular a A → , ou o módulo de B →   vezes a componente de A → perpendicular a B → .

Passo 1

Sabemos que a fórmula do módulo de um produto vetorial é:

A → × B → = A | B | s e n ( ∅ )

O que vamos fazer é demonstrar através da área de um paralelogramo que conseguimos encontrar essa fórmula.

Passo 2

O paralelogramo formado pelos vetores tem a seguinte forma:

Para calcular a área desse paralelogramo vamos dividir ele em dois triângulos, pois assim podemos usar a fórmula da área que ele deu.

Passo 3

Como podemos perceber, divimos á area do paralelogramo em dois triângulos iguais, ou seja, se acharmos a área do triângulo conseguimos achar a área do paraleogramo.

S p a r a l e l o g r a m o = 2 .   S t r i â n g u l o

Para calcular a área do triângulo precisamos achar a altura relativa a base.

Considerando h a altura relativa à base, ou seja, a componente vertical de B →   em relação à A → , temos que:

h B = s e n ∅

h = B   s e n ( ∅ )

Passo 4

Como a fórmula da área de um triângulo é:

b a s e .   a l t u r a 2 = S t r i ã n g u l o

Substituindo os valores temos:

A   . h 2 = S t r i â n g u l o

Escrevendo h em função de B → :

S t r i â n g u l o = A   . B   . s e n ∅ 2

Como já sabemos á relação da área do triângulo e do paralelogramo temos que:

S p a r a l e l o g r a m o = 2 .   S t r i â n g u l o = A B   s e n ( ∅ )

Logo, como podemos ver, um produto vetorial A → × B → pode ser escrito como:

A → × B → = A B   s e n θ = A . h

onde B s e n θ é a componente de B → perpendicular a A → .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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