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Exercícios Resolvidos de Quadratura Gaussiana

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Exercício 12345

Enunciado

Considere a integral:

I = ∫ 0 1 e - x 2 d x

a Estime I por Quadratura Gaussiana com 2 pontos.

b Sabendo que o valor exato de I (usando 5 casas decimais) é 0.74682 , compare a estimativa dada.

c Quantos pontos seriam necessários para que a regra dos Trapézios e 1/3 de Simpson obtivessem essa mesma precisão?

Passo 1

a Essa primeira letra não tem mistério nenhum né? Só temos que tomar cuidado que os limites da integral são 0,1 e não - 1,1 ! Então temos que lembrar da fórmula da mudança de intervalos de integração:

x = 1 2 b - a t + a + b  

d x = b - a 2 d t

Logo,

I = ∫ 0 1 e - x 2 d x = 1 2 ∫ - 1 1 exp ⁡ - t + 1 2 2 d t ≈ 1 2 exp ⁡ - - 3 3 + 1 2 2 + exp ⁡ - 3 3 + 1 2 2

I ≈ 0.74659

Passo 2

b Sabendo que o valor exato com 5 casas decimais é 0.74682 podemos encontrar o erro:

E A = 0.74659 - 0.74682 = 0.00023

Passo 3

c Lembram-se das fórmulas do limitante do erro para as regras do Trapézio e 1/3 de Simpson repetidas? Não? Bom, eu não lembro delas então não se sintam mal haha. São essas aqui oh:

Trapézios Repetida:

E ≤ n h 3 12 ∙ max x ∈ a , b ⁡ f ' ' x

1/3 de Simpson Repetida:

E ≤ n h 5 180 ∙ max x ∈ a , b ⁡ f i v x

Agora vamos achar qual o n necessário em cada caso. Lembrando que h = b - a n = 1 - 0 n !

Passo 4

Para a regra dos trapézios temos:

1 3 12 n 2 ∙ max x ∈ a , b ⁡ f ' ' x ≤ 0.00023

Temos que:

f x = e - x 2

f ' x = - 2 x e - x 2

f ' ' x = e - x 2 4 x 2 - 2

E o máximo de f ' ' x em 0,1 acontece em x = 0 onde temos f ' ' x = 2 . Substituindo na fórmula:

1 3 12 n 2 ∙ 2 ≤ 0.00023

n 2 ≥ 724,64

n ≥ 26,91

Logo, temos n ≥ 2 7 intervalos! O que nos diz que precisaríamos de pelo menos 2 8 pontos! Muito cuidado com essa relação intervalo-pontos haha. Como a questão pede o número de pontos você tem que somar 1 no número de intervalos!

Passo 5

Para a regra 1/3 de Simpson temos: 1 5 180 n 4 ∙ max x ∈ a , b ⁡ f i v x ≤ 0.00023  

Continuando as derivadas:

f 3 x = - 4 x 2 x 2 - 3 e - x 2

f 4 x = 4 4 x 4 - 12 x 2 + 3 e - x 2

E o máximo de f 4 x no intervalo 0,1 ocorre em x = 0 e tem como valor f 4 x = 12 . Substituindo:

1 5 180 n 4 ∙ 12 ≤ 0.00023

n 4 ≥ 289.86

n ≥ 4.13

Nesse caso como precisamos de um número par de intervalos nossa condição fica n ≥ 6 . Ou seja, precisamos de 7 pontos.

Resposta

a I ≈ 0.74659

b E A = 0.00023

c 2 8 pontos para a regra dos Trapézios e 7 pontos para a regra 1/3 de Simpson.

Exercícios de Livros Relacionados

Deduza a fórmula de integração da forma ∫ - 1 1 f ( x ) d x ≈ w 0 f ( - 0.5 ) + w 1 f ( 0 ) + w 2 f ( 0.5 ) que integre exatamente polinômios de grau ≤ 2.
Escolha uma regra de quadratura sobre pontos igualmente espaçados de h e avalie: ∫ − 1 0 𝑥 𝑒 𝑥 𝑑 𝑥 ,Com duas casas decimais corretas.
Calcular:Por quadratura de Gauss e diretamente e comparar os resultados.
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