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Exercícios Resolvidos de Quadratura Gaussiana

Ver Teoria
Exercício 51234

Enunciado

Deduza a fórmula de integração da forma

∫ - 1 1 f x d x ≈ w 0 f - 0.5 + w 1 f 0 + w 2 f 0.5

que integre exatamente polinômios de grau ≤ 2 .

Passo 1

Então pra resolver isso vamos usar a mesma lógica lá da teoria quando deduzimos a fórmula da quadratura gaussiana de dois pontos. Como a fórmula deve integrar exatamente polinômios de grau ≤ 2 , então nossa aproximação passa a ser uma igualdade nesses casos:

f x = 1

f x = x

f x = x 2

Onde temos:

w 0 ∙ 1 + w 1 ∙ 1 + w 2 ∙ 1 = ∫ - 1 1 1 d x = 2

w 0 - 0.5 + w 2 0.5 = ∫ - 1 1 x d x = 0

w 0 0.25 + w 2 0.25 = ∫ - 1 1 x 2 d x = 2 3

Passo 2

Chegamos então no sistema:

w 0 + w 1 + w 2 = 2 - 0.5 w 0 + 0.5 w 2 = 0 0.25 w 0 + 0.25 w 2 = 2 3

Da segunda equação temos que:

w 0 = w 2

Substituindo isso na terceira equação:

0.5 w 0 = 2 3

w 0 = w 2 = 4 3

Substituindo na primeira equação:

8 3 + w 1 = 2

w 1 = - 2 3

Logo, nossa fórmula de integração fica:

∫ - 1 1 f x d x ≈ 4 3 f - 0.5 - 2 3 f 0 + 4 3 f 0.5

Resposta

∫ - 1 1 f x d x ≈ 4 3 f - 0.5 - 2 3 f 0 + 4 3 f 0.5

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Deduza a fórmula de integração da forma ∫ - 1 1 f ( x ) d x ≈ w 0 f ( - 0.5 ) + w 1 f ( 0 ) + w 2 f ( 0.5 ) que integre exatamente polinômios de grau ≤ 2.
Escolha uma regra de quadratura sobre pontos igualmente espaçados de h e avalie: ∫ − 1 0 𝑥 𝑒 𝑥 𝑑 𝑥 ,Com duas casas decimais corretas.
Calcular:Por quadratura de Gauss e diretamente e comparar os resultados.
Calcular:Por quadratura de Gauss e diretamente e comparar os resultados.