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Exercícios Resolvidos de Quadratura Gaussiana

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Exercício 41235

Enunciado

Considere a integral ∫ 1 3 x 6 - x 2 sin ⁡ 2 x d x = 317.3442466 .

a Encontre uma aproximação para essa integral por Quadratura Gaussiana com n = 2 . Calcule o erro percentual cometido.

b Repita o item a com n = 3 .

Passo 1

Mudando o intervalo de integração:

x = 1 2 2 t + 3 + 1 = t + 2

d x = d t

∫ 1 3 x 6 - x 2 sin ⁡ 2 x d x = ∫ - 1 1 t + 2 6 - t + 2 2 sin ⁡ 2 t + 4 d t

Passo 2

a Aproximando para n = 2 :

∫ 1 3 x 6 - x 2 sin ⁡ 2 x d x ≈ - 3 3 + 2 6 - - 3 3 + 2 2 sin ⁡ 2 - 3 3 + 4 + 3 3 + 2 6 - 3 3 + 2 2 sin ⁡ 2 3 3 + 4 = 306.8199345

Calculando o erro:

E R = 306.8199345 - 317.3442466 317.3442466 × 100 = 3.32 %

Passo 3

b Aproximando para n = 3 . Lembre-se que temos, para esse caso,

x 0 = 0.77460

c 0 = 0.55556

x 1 = 0.0000

c 1 = 0.88889

x 2 = - 0.77460

c 2 = 0.55556

Então ficamos com:

∫ 1 3 x 6 - x 2 sin ⁡ 2 x d x ≈ 0.55556 0.77460 + 2 6 - 0.77460 + 2 2 sin ⁡ 2 0.77460 + 4 + 0.88889 0 + 2 6 - 0 + 2 2 sin ⁡ 2 0 + 4 + 0.55556 - 0.77460 + 2 6 - - 0.77460 + 2 2 sin ⁡ 2 - 0.77460 + 4 = 317.2680670

Calculando o erro:

E R = 317.2680670 - 317.3442466 317.3442466 × 100 = 0.024 %

Resposta

a 306.8199345

E R = 3.32 %

b 317.2680670

E R = 0.024 %

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Deduza a fórmula de integração da forma ∫ - 1 1 f ( x ) d x ≈ w 0 f ( - 0.5 ) + w 1 f ( 0 ) + w 2 f ( 0.5 ) que integre exatamente polinômios de grau ≤ 2.
Escolha uma regra de quadratura sobre pontos igualmente espaçados de h e avalie: ∫ − 1 0 𝑥 𝑒 𝑥 𝑑 𝑥 ,Com duas casas decimais corretas.
Calcular:Por quadratura de Gauss e diretamente e comparar os resultados.
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