Calcular a área aproximada limitada por 𝑦 = 𝑙𝑛(𝑥 + 1), 𝑥 = 2, 𝑥 = 3 e 𝑦 = 0, utilizando a fórmula de simpson com o menor número de pontos e erro .
Passo 1
Bom, a primeira coisa que a gente precisa fazer é achar o número intervalos que precisamos usar pra resolver com esse erro que o professor determinou, pra isso é só usar a fórmula do limitante de erro.
Passo 2
Essa parte mais a direita da fórmula meio estranha só quer dizer que eu preciso achar o máximo valor do módulo da derivada quarta no intervalo onde eu estou integrando..então bora derivar!
No nosso intervalo de integração, o valor de x que faz ser máximo é . Nesse caso a fórmula do erro ficaria:
Lembre que na fórmula do erro usamos o módulo da por isso que a gente esquece o sinal.
Se o erro é sempre menor ou igual a e queremos limitar ele à 0.01, Então podemos escrever:
Passo 3
Bom ta na hora de usar aquela sacada que o professor acha que vc não manja. Podemos escrever h desse jeito aqui:
O b e o a são os extremos superior e inferior da integral e n o número de intervalos. Nesse exercício o intervalo de integração é então...
Passo 4
Substituindo na nossa inequação a equação do :
Resolvendo ficamos com...
Invertendo de ambos os lados
Elevando a ambos os lados
Passo 5
Com deve ser um número inteiro, sempre vamos arredondá-lo para cima, nesse caso , o que resultaria em k=2 ponto. Maaaaas em Simpson o número mínimo de pontos para fazer mos a integral são 3... então bora tabelar a nossa função usando 3 pontos.
Passo 6
Como agora a gente já sabe que vai usar uma tabela com k=3 pontos, já dá pra calcular o passo da nossa tabela de pela .
Logo nossa tabela andará de 0.5 em 0.5.
Passo 7
Nossa tabela ficou assim:
Substituindo na os valores de da nossa tabela teremos:
Agora é só aplicar a fórmula de simpson.
Passo 8
Olha lá a fórmulinha para 3 pontos:
Passo 9
Resolvendo a continha do lado direito