Exercícios Resolvidos de Regra 1/3 de Simpson

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Enunciado

2. Calcule o valor da integral da função abaixo para 8 intervalos utilizando os métodos de Simpson e dos Trapézios. Utilize 3 casas decimais e arredondamento padrão.

Passo 1

E aí, galera? Neste exercício vamos praticar alguns métodos de integração :) Nós vimos em cálculo 1 como algumas integrais podem ser suuuper difíceis de resolver, então esses métodos podem ser bem úteis na nossa vida!

Considerando n intervalos, o método de Simpson aproxima a integral usando a seguinte equação:

∫ a b f ( x )   d x   ≈   h 3 ⋅ m , onde:

m = f ( x 0 ) + 4 ⋅ f ( x 1 ) + 2 ⋅ f ( x 2 ) + 4 ⋅ f ( x 3 ) + 2 ⋅ f ( x 4 ) +   . . .   +   f ( x n ) e h = b - a n .

Pessoal, fiquem bem atentos, hein? Para todo i   ϵ   [ 0 , n ] ,   i   p a r , devemos multiplicar f ( x i ) por um fator de 2 no cálculo de m . Por outro lado, para i   í m p a r , devemos usar um fator de 4.

Já no método dos Trapézios, vamos aproximar a integral usando esta outra equação:

∫ a b f ( x )   d x   ≈   h 2 ⋅ m , onde:

m = f ( x 0 ) + 2 ⋅ [ f ( x 1 ) + f ( x 2 ) + f ( x 3 ) +   . . . + f ( x n - 1 ) ] +   f ( x n ) e h = b - a n .

Passo 2

De acordo com o enunciado, sabemos que n = 8 , a = 0 ,   b = 1 e f ( x ) = 1 - x 2 . Vamos então calcular os fatores h   e m , beleza?

h = b - a n = 1 - 0 8 = 0,125

Para calcular m , devemos primeiro definir os oito pontos usados na equação, certo? Sabemos que x 0 = a = 0 e x 8 = b = 1 . Para descobrir os demais pontos, devemos incrementar o valor de h ao ponto inicial, até alcançarmos o ponto final! Vamos lá!

x 0 = 0

x 1 = x 0 + 0,125 = 0,125

x 2 = x 1 + 0,125 = 0,25

x 3 = x 2 + 0,125 = 0,375

x 4 = x 3 + 0,125 = 0,5

x 5 = x 4 + 0,125 = 0,625

x 6 = x 5 + 0,125 = 0,75

x 7 = x 6 + 0,125 = 0,875

x 8 = x 7 + 0,125 = 1

Passo 3

Em seguida, vamos obter o valor de f ( x ) para cada um desses pontos:

f ( x 0 ) =   1 - ( 0 ) 2 = 1

f ( x 1 ) = 1 - ( 0,125 ) 2 = 0,992

f ( x 2 ) =   1 - ( 0,25 ) 2 = 0,968

f ( x 3 ) =   1 - ( 0,375 ) 2 = 0,927

f ( x 4 ) =   1 - ( 0,5 ) 2 = 0,866

f ( x 5 ) =   1 - ( 0,625 ) 2 = 0,78

f ( x 6 ) =   1 - ( 0,75 ) 2 = 0,66

f ( x 7 ) =   1 - ( 0,875 ) 2 = 0,484

f ( x 8 ) =   1 - ( 0,8 ) 2 = 0

Ufaaaa! Substituindo na equação de m , obtemos, para o método de Simpson:

m = 1 + 0 + 4 ⋅ ( 0,992 + 0,927 + 0,78 + 0,484 ) + 2 ⋅ ( 0,968 + 0,866 + 0,661 ) =   18,772

Portanto: ∫ 0 1 1 - x 2   d x   ≈   h 3 ⋅ m = 0,125 3 ⋅ 18,772 = 0,782

Agora, para o método dos Trapézios:

m = 1 + 0 + 2 ⋅ ( 0,992 + 0,927 + 0,78 + 0,484 + 0,968 + 0,866 + 0,661 ) =   12,356

Portanto: ∫ 0 1 1 - x 2   d x   ≈   h 2 ⋅ m = 0,125 2 ⋅ 12,356 = 0,772

E é isso, galera! Até a próxima!

Resposta

Método de Simpson: 0,782

Método dos Trapézios: 0,772

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