Uma criança rolando uma pedra x metros utiliza uma força de 𝑓(𝑥) = 15 + 3𝑠𝑒𝑛(𝑥) dada em Newtons. Sabe-se que o trabalho realizado pela criança para rolar metros é dado por . Determine o número de integrais usando pela fórmula de Simpson com erro de truncamento menor que 0.0004.
Passo 1
Pega essa criança possuída pelo demônio que consegue fazer uma força senoidaaaal!!! Dito isso, fico mais tranquilo pra te dizer que sempre que o professor pedir número de intervalos, pontos ou integrais, vamos sempre nos apegar a fórmula do limitante de erro, que é essa aqui:
Mas nesse caso podemos reescrever ela assim oh:
E esse vai ser o número de integrais de simpson utilizadas. Basta encontrarmos n agora né?!
Passo 2
Essa parte mais à direita da fórmula meio estranha só quer dizer que eu preciso achar o máximo valor do módulo da derivada quarta no intervalo onde eu estou integrando... Então bora derivar!
No nosso intervalo de integração, o valor de x que faz ser máximo é . Nesse caso a fórmula do erro ficaria:
Se o erro é sempre menor ou igual a e queremos limitar ele à 0.0004, então podemos escrever:
Passo 3
Bom ta na hora de usar aquela sacada que o professor acha que vc não manja. Podemos escrever h desse jeito aqui:
O b e o a são os extremos superior e inferior da integral e n o número de intervalos. Nesse exercício o intervalo de integração é então...
Passo 4
Substituindo na nossa inequação:
Resolvendo ficamos com...
Invertendo de ambos os lados
Elevando a ambos os lados
Passo 5
Com deve ser um número inteiro, sempre vamos arredondá-lo para cima, nesse caso
Como a pergunta foi o número de integrais de simpson e não de intervalos (pegadinha do professor), é só dividir n por 2.
Ou seja, no mínimo, 3 integrais de simpson são suficientes.
Resposta
3 integrais de Simpson