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Exercícios Resolvidos de Regra 1/3 de Simpson

Ver Teoria
Exercício 1112345678910

Enunciado

USP – Cálculo Numérico – PSUB – 2017

3) Uma fórmula de integração aberta não faz uso dos valores da função nos extremos do intervalo. Por exemplo, para calcular ∫ 0 4 f x d x dividimos 0,4 em quatro subintervalos de mesmo tamanho e aproximamos a integral de f pela integral do polinômio de grau menor ou igual a 2 que interpola f nos pontos interiores 1, 2 e 3.

a) Determine pelo método de diferenças divididas o polinômio p que interpola f nestes 3 pontos.

b) Integre p no intervalo 0,4 (pela fórmula de Simpson) de maneira a obter a fórmula de integração. Há diferença caso você integre p exatamente?

c) Use a fórmula obtida para calcular ∫ 0 1 1 x d x (sim, uma mudança de variáveis se faz necessária!)

Passo 1

Falaaa... beleza???

Nessa questão vamos integral o polinômio que encontramos na letra a:

p 2 x = f ( 1 ) + f 2 - f 1 x - 1 + f 3 + f 1 2 x - 1 x - 2

Usando a fórmula de simpson:

∫ a b f x d x ≈ h 3 f x 0 + 4 f x 1 + f x 2

Onde h = b - a 2 .

Passo 2

Então queremos calcular:

∫ 0 4 p 2 x d x ≈ 2 3 p 2 0 + 4 p 2 2 + p 2 4

Achando primeiro os polinômios nos pontos dados:

p 2 0 = f 1 + f 2 - f 1 0 - 1 + f 3 + f 1 2 0 - 1 0 - 2

= f 1 - f 2 + f 1 + f 3 + f ( 1 )

= 3 f 1 - f 2 + f 3

p 2 2 = f 1 + f 2 - f 1 2 - 1 + f 3 + f 1 2 2 - 1 2 - 2

= f 1 + f 2 - f 1

= f 2

p 2 4 = f 1 + f 2 - f 1 4 - 1 + f 3 + f 1 2 4 - 1 4 - 2

= f 1 + 3 f 2 - 3 f 1 + 3 f 3 + 3 f 1

= f 1 + 3 f 2 + 3 f 3

Passo 3

Substituindo na fórmula:

∫ 0 4 p 2 x d x ≈ 2 3 p 2 0 + 4 p 2 2 + p 2 4

≈ 2 3 3 f 1 - f 2 + f 3 + 4 f 2 + f 1 + 3 f 2 + 3 f 3

≈ 2 3 4 f 1 + 6 f 2 + 4 f 3

Passo 4

Pra responder se há diferença caso de resolver a integral de forma exata. Vamos analisar o erro:

E = - h 5 90 f 4 ξ

Repara que como temos h > 1 , então o erro fica beeem grande.

Então, sim. Há diferença.

Resposta

∫ 0 4 p 2 x d x ≈ 2 3 4 f 1 + 6 f 2 + 4 f 3

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