Dada as funções e determine a derivada da função composta ou .
Passo 1
O enunciado está pedindo que a gente calcule a derivada de uma função composta que é criada a partir da função e da função . Mas como podemos criar uma função composta a partir de e ?
Para fazer isso, substituímos a variável presente em pela função . A função composta fica assim:
A função que criamos é uma função composta, pois colocamos uma função dentro da outra!
E como derivamos essa função composta representada por que nos deu essa fórmula maior e mais complicada?
A gente vai fazer isso usando a regra da cadeia!
Essa regra será explicada no passo a seguir!
Passo 2
A regra nada mais é do que derivar por partes! Vamos separar a derivação em duas partes. Primeiro nós vamos derivar a função como se a função fosse a nossa variável . Ou seja, nós vamos derivar usando a função na forma abaixo.
Nessa primeira parte, nós vamos tratar a como se fosse a nossa variável comum, aplicando o mesmo passo a passo que usávamos, quando a função só tinha !
Então, vamos derivar e separadamente e depois juntar essas derivadas.
A derivada de pode ser calculada com a regra do peteleco. Nessa regra, nós derivamos dando um peteleco no expoente e fazendo ele cair na frente de . Esse expoente que caiu deixou pra trás um expoente menor. Esse novo expoente é o antigo menos (ou seja, ).
Agora só falta calcular a derivada da constante . No entanto, a derivada de uma constante vale zero. Logo:
Juntando essas derivadas, achamos .
Ainda não vamos substituir por . Deixaremos isso pro final!
Agora, vamos para a segunda parte!
Passo 3
Na segunda parte da regra da cadeia, vamos derivar normalmente a função .
Para derivar elevado a uma constante temos sempre que usar a regra do peteleco. Ou seja, o expoente vai cair na frente do e vai deixar pra trás um expoente menor, valendo .
Agora vamos utilizar a fórmula da regra da cadeia!
Essa fórmula diz que a derivada da função composta é a multiplicação entre a derivada e a derivada !
Substituindo o que encontramos para e , achamos:
Calma porque ainda não acabou. Ainda temos que substituir pela sua fórmula! Esse será o nosso último passo!
Passo 4
Nesse passo vamos substituir por na derivada de .
Nessa equação o número e o termo estão elevados ao quadrado. Quando isso acontece nós elevamos cada um em separado para a equação ficar mais simples.
Agora, está sendo elevado duas vezes seguidas. Então, repetimos o e multiplicar os expoentes!
Quando temos vários termos com sendo multiplicados, podemos somar os expoentes de .
No entanto, a multiplicação entre os números da equação dá:
Substituindo esse valor na equação da derivada:
Resposta
A derivada da função composta é .