Determine a derivada da função
- f’ (x) = 5
- f’ (x) = 3
- f’ (x) = 3
- f’ (x) = -3
- Nenhuma das respostas anteriores
Passo 1
Pessoal, eu sei que essa função que temos que derivar pode assustar um pouco. Principalmente por causa dessa letra que tem nela. O que ela significa? Ela é um número que vale aproximadamente .
Mas relaxa que não vamos precisar usar esse valor de “” nas questões que envolvem esse número!
Tudo bem, essa parte nós entendemos! Mas como podemos derivar , se só me lembro como derivar ?
Na verdade, derivar não é tão diferente de derivar ! A única diferença é que para derivar , precisamos cumprir duas etapas a mais.
Para perceber isso, vamos chamar o expoente de .
Agora, vamos substituir o expoente da função por .
Essa função ficou bem parecida com , não é? Mas não se esquece que também é uma função, isso significa que aqui temos uma função dentro da outra. O que chamamos de função composta.
ou
Então vamos começar a resolver nossa questão derivando a função acima que nem fazemos quando a função só tem !
Como a derivada da função exponencial é igual ao próprio , a derivada de é o próprio !
Pronto, cumprimos a primeira etapa para calcular a derivada de . Nos próximos passos, vamos aprender as etapas adicionais que temos que cumprir para achar a derivada de .
Passo 2
A segunda etapa é derivar a função !
Não precisamos derivar a toda ao mesmo tempo. Nós podemos derivar e separadamente e depois juntar essas derivadas.
A derivada de pode ser calculada com a regra do peteleco. Nessa regra, nós derivamos dando um peteleco no expoente de (que no caso vale ). Com o peteleco, esse expoente “cai” na frente de , deixando pra trás um expoente menor. Esse novo expoente é igual ao antigo menos (ou seja, ).
Agora só falta calcular a derivada da constante . No entanto, a derivada de uma constante vale zero. Logo:
Juntando essas derivadas, achamos .
Passo 3
A última etapa para calcular a derivada de é multiplicar as duas derivadas que encontramos.
Substuindo as equações de e :
Lembrando que :
Vamos reorganizar essa função para ficar mais parecida com as opções de resposta que temos.
Pronto! Conseguimos calcular a derivada de ! A opção correta é a letra (b).
Resposta
Letra (b)