Encontre a primeira e a segunda derivadas da função.

Como a gente tem uma função composta, a gente vai usar a regra da Cadeia, que é dessa forma aqui:

A gente já identificou que e , então vamos derivar cada uma, usando a tabela de derivadas e a Regra do Tombo.

Para:

Vamos transformar em

Podemos jogar um pra baixo por causa do expoente negativo, e voltar com ele para forma de raiz:

Agora é a vez do

Beleza! Vamos substituir isso na expressão da regra da cadeia:

Substituindo e :

Simplificando o de cima com o de baixo:

Prontinho! Essa é a primeira derivada!

Agora vamos fazer a segunda derivada, derivando .

Como é um quociente, vamos usar a regra do Quociente, que é assim:

No nosso caso, temos:

Precisamos das derivadas dessas duas...

Para a derivada de é só usar a regra do Tombo:

E a derivada de a gente já calculou e viu que é:

Show! Vamos jogar isso na regra do Quociente agora!

Calma! Eu sei que ficou feio, mas vamos melhorar isso aí.

Podemos cortar a raiz como quadrado no denominador, e fazer no segundo termo da parte de cima:

Vamos somar aqueles dois ali em cima, multiplicando o primeiro termo por em cima e embaixo...

Vai ficar assim:

Agora podemos multiplicar ali em cima, que vai sumir a raiz, certo?

A gente tem duas frações com denominadores iguais ali em cima, então podemos resolver em cima e repetir embaixo:

Em divisão de frações, podemos repetir a primeira e multiplicar pelo inverso da segunda. No caso, a segunda é o que vamos transformar em

Nossa derivada então é:

Prontinho! Derivadas calculadas😊