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Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia

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Exercício 81234567910

Enunciado

Determine a derivada da função f x = 5 x . ln ⁡ cos ⁡ x

(a) f ' x =   - 5 x . sen ⁡ x cos ⁡ x

(b) f ' x = 5 - 5 x . sen ⁡ x cos ⁡ x

(c) f ' x = 5 x . sen ⁡ x cos ⁡ x

(d) f ' x = 5 ln ⁡ cos ⁡ x - 5 x . sen ⁡ x cos ⁡ x

(e) f ' x = 5 l n ⁡ ( cos ⁡ x )

Passo 1

Bora fazer mais essa?

Queremos a derivada dessa belezinha aqui:

f x = 5 x . ln ⁡ cos ⁡ x

Complicou né? Mas calma, respira, vamos por partes!

Pra começar, repara que temos um produto ali, certo? Então nada mais justo do que usarmos a Regra do Produto! Essa regra é assim:

g ⋅ h ' = g ' ⋅ h + g ⋅ h '

Ok, vamos montar isso aí então...

Passo 2

A gente vai chamar aqui:

g = 5 x

h = ln ⁡ ( cos ⁡ x )

Então a nossa regra do produto fica assim:

f ' x = 5 x ' ln ⁡ ( c o s x ) + 5 x ⋅ ln ⁡ cos ⁡ x '

Beleza! Agora a gente precisa dessas derivadas que estão sinalizadas com “ ‘ ” aí!

Passo 3

A derivada de g é de boa! A gente vai naquele esquema de Regra do Tombo, onde o expoente cai pra frente e diminui um no expoente. Vai ficar assim:

g ' = 1 ⋅ 5   x 1 - 1

g ' = 5 x 0 (lembra que todo número elevado a zero é 1)

g ' = 5

Show! Essa foi de boa! Vamos pra próxima...

Passo 4

Vamos derivar h = ln ⁡ ( cos ⁡ x ) agora. Essa aqui é uma função composta, então a gente vai ter que aplicar a Regra da cadeia, que é dessa forma aqui:

y u ' = y ' u ⋅ u '

Ou seja, a gente deriva de fora pra dentro...

Aqui no nosso caso a gente tem:

y = ln ⁡ u

u = cos ⁡ x

Essas derivadas são tabeladas, aquelas basiquinhas que a gente aprende. Elas são isso aqui:

y ' = 1 u

u ' =   - s e n   x

Então nossa derivada de h fica:

h ' = 1 u ⋅ u '

Substituindo u   e   u ' , temos:

h ' = 1 cos ⁡ x - s e n   x

h ' = - s e n   x cos ⁡ x

Beleza! Derivada de h encontrada!

Passo 5

Lá no passo 2 a gente deixou nossa derivada montada com a regra do produto, vamos pegar de volta!

f ' x = 5 x ' ln ⁡ ( c o s x ) + 5 x ⋅ ln ⁡ cos ⁡ x '

Agora que a gente já calculou essas derivadas que estão ali, vamos substituir:

f ' x = 5 ⋅ ln ⁡ ( c o s x ) + 5 x ⋅ - s e n   x cos ⁡ x

f ' x = 5 ln ⁡ ( cos ⁡ x ) - 5 x ⋅ s e n   x cos ⁡ x

E finalmente chegamos à nossa derivada! A alternativa certa é a letra D! 😉

Resposta

d) f ' x = 5 ln ⁡ ( cos ⁡ x ) - 5 x ⋅ s e n   x cos ⁡ x