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Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia

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Exercício 61234578910

Enunciado

Determinando a derivada da função f ( x ) =   x ² s e n   x ³ , obtemos:

  1. 6 x 3 c o s x 3
  2. 2 x   c o s x ³
  3. 2 x   c o s 3 x ²
  4. 2 x s e n x 3 + 3 x 4 cos ⁡ x ³
  5. 2 x   s e n x 3 c o s   x ³

Passo 1

Olá, tudo beleza?

Vamos lá, nossa função é essa:

f x =   x 2 s e n   x 3

Percebe que a gente tem um produto entre duas funções, então vamos usar a regra do produto para derivar essa nossa função.

Lembra que a regra do produto é assim:

g ⋅ h = g ' ⋅ h + g ⋅ h '

Aqui a gente pode definir:

g = x 2

h = s e n   x 3

E o nosso próximo passo é derivar cada um desses pedacinhos...

Passo 2

Na função g a gente vai usar aquele esquema de Regra do tombo com o expoente, lembra? Assim:

g ' = 2 x 2 - 1

g ' = 2 x

Beleza, vamos ver a h agora...

Passo 3

A função h = s e n   x 3 é composta, pois temos a função x 3 dentro da função s e n o , então a gente vai ter que usar a Regra da Cadeia, que é assim:

y u ' = y ' u ⋅ u '

Ou seja, a gente deriva de fora pra dentro.

Nesse caso a gente pode chamar:

y = s e n   u

u = x 3

Derivando cada pedacinho:

y ' = cos ⁡ u

u ' = 3 x 3 - 1 = 3 x 2

Então a derivada de h pela regra da cadeia é:

y u ' = y ' u ⏟ cos ⁡ u ⋅ u ' ⏟ 3 x 2

h ' = cos ⁡ u ⋅ 3 x 2

Substituindo quem é o u :

h ' = cos ⁡ x 3 ⋅ 3 x 2

Então reorganizando, temos:

h ' = 3 x 2 cos ⁡ x 3

Passo 4

Agora que a gente já achou a derivada de g e de h , podemos montar nossa regra do Produto lá do início...

f x =   x 2 s e n   x 3

f ' x = x 2 ' sen ⁡ x 3 + x 2 sen ⁡ x 3   '

f ' x = 2 x sen ⁡ x 3   + x 2 ⋅ 3 x 2 cos ⁡ x 3

f ' x = 2 x sen ⁡ x 3   + 3 x 4 cos ⁡ x 3

E então chegamos na derivada! A resposta certa é a alternativa D 😉

Resposta

d) 2 x s e n x 3 + 3 x 4 cos ⁡ x ³