Derive a função.
Passo 1
Fala, pessoal! Nesse exercício nós temos que derivar uma função que aparece em várias questões de derivada: o .
Para ficar mais claro como se deriva essa função, vamos nos lembrar de uma outra forma de escrever .
Essa nova forma é igualzinha a ! As duas formas nos dizem que o está elevado a !
No entanto, quando escrevemos desse jeito, podemos ver com mais clareza que a função que calcula o cosseno está dentro de uma uma função que eleva ao quadrado!
Isso fica mais claro ainda, quando substituímos por .
Logo:
Agora, nós conseguimos ver que a função (que calcula o cosseno) está dentro de uma função que eleva ao quadrado! O é uma função dentro da função que eleva a !
Quando temos uma função dentro da outra, a chamamos de função composta! Logo,
Para derivar uma função desse tipo usamos a regra da cadeia!
Ou seja, assim que você ver uma função dentro de outra, saiba que ela é uma função composta e que você terá que usar a regra da cadeia para derivá-la!
Essa regra será explicada no passo 2!
Passo 2
A regra para essa derivada será:
é a derivada da função composta que queremos calcular. Ela é o resultado final. E
é a derivada da função de !
Atenção com essa derivada! Ela é uma função de , mas nós vamos derivar ela que nem fazemos quando a função só tem .
Ou seja, vamos derivar que nem derivamos ! Usando a regra do peteleco! Nessa regra, o expoente vai cair na frente de e vai deixar pra trás um expoente que é igual ao antigo .
Agora, nós vamos derivar normalmente. Como é o cosseno, sua derivada vale:
No próximo passo, vamos substituir essas derivadas que calculamos na regra da cadeia para calcular a derivada da função composta!
Passo 3
A derivada da função composta vale:
Calma que o exercício ainda não acabou! Ainda temos que substituir por !
Colocando o sinal de menos no início da equação, vira:
É isso aí! Terminamos mais uma questão de derivada! Essa questão pode parecer mais complicadinha, porque precisa de mais passos para ser resolvida.
Por isso, vamos resumir o passo a passo que você tem que seguir para derivar uma função composta! Assim você vai sempre se lembrar e vai ficar craque!
- Primeiro, temos que identificar a função composta. Para isso, precisamos reconhecer que tem uma função dentro de outra!
- Depois, chamamos a função de dentro de .
- Agora, calculamos a derivada de que nem fazemos quando a função só tem .
- Substituimos e na regra da cadeia para calcular a derivada da função composta.
- Substituímos a equação de .
- Corremos para o abraço!
OBS.: Lembre-se sempre que, se tem uma função dentro da outra, derivamos usando a regra da cadeia.
é calculado normalmente.