Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia

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Enunciado

Encontre a derivada da função:

y = e α x sen ⁡ β x

Passo 1

Vamos ver mais essa! A gente quer a derivada da função:

y = e α x sen ⁡ β x

Aqui a gente tem um produto entre duas funções, então vamos aplicar a regra do Produto, beleza?

A regra do Produto é assim:

g ⋅ h ' = g ' ⋅ h + g ⋅ h '

Onde aqui na nossa:

g = e α x

h = sen ⁡ β x

Precisamos de g ' e h ' agora...

Passo 2

Vamos primeiro derivar g pra encontrar g ' .

Bom, perceba que g = e α x é uma função composta, formada por e u e u = a x . Então a gente usa a regra da Cadeia, pra derivar de fora pra dentro assim:

f u ' = f ' u ⋅ u '

Derivando e u encontramos o próprio e u , certo?

E pra derivar u = a x , a gente usa a regra do tombo, assim:

u ' = 1 ⋅ a x 1 - 1

u ' = a x 0

u ' = a

Beleza, vamos montar a regra da cadeia agora...

Passo 3

f u ' = f ' u ⋅ u '

Jogando o que a gente achou aqui:

g ' = e u ⋅ u '

Substituindo u   e   u ' :

g ' = e α x ⋅ α

g ' = α e α x

Ok, achamos a derivada de g , agora precisamos da de h ...

Passo 4

Vamos ver a derivada de h = sen ⁡ β x .

Novamente, h é composta por sen ⁡ u   e u = β x .

Pela regra da cadeia, precisamos de:

f u ' = f ' u ⋅ u '

Derivando sen ⁡ u , encontramos:

( sen ⁡ u ) ' = cos ⁡ u

E derivando u = β x , a gente usa a regra do tombo, assim:

u ' = 1 ⋅ β x 1 - 1

u ' = β x 0

u ' = β

Passo 5

Jogamos na nossa regra da cadeia:

f u ' = f ' u ⋅ u '

h ' = cos ⁡ u ⋅ u '

Substituindo u   e   u ' :

h ' = cos ⁡ β x ⋅ β

h ' = β cos ⁡ β x

Ótimo! Temos as derivadas de g   e   h agora, vamos voltar na nossa regra do produto lá do Passo 1!

Passo 6

Vamos voltar aqui:

g ⋅ h ' = g ' ⋅ h + g ⋅ h '

Substituindo g ,   h ,   g ' e   h ' :

y ' = α e α x ⋅ sen ⁡ β x + e α x ⋅ β cos ⁡ β x

A gente pode colocar o e α x em evidência:

y ' = e α x α sen ⁡ β x + β . cos ⁡ β x

E pronto! Essa é a nossa derivada😊

Resposta

y ' = e α x α sen ⁡ β x + β . cos ⁡ β x