Os dados a seguir referem-se a 9 observações sobre o tempo gasto de acondicionamento de um produto em minutos ( Y ) e seu volume em toneladas ( X ).

(b) Observe que nesse caso, uma reta que descreva o comportamento do tempo em função do volume deveria começar pela origem uma vez que, se não há volume, o tempo de acondicionamento deve ser nulo. Assim, um modelo apropriado para explicar esses dados é Y i = b   ×   X i + e r r o i . Determine o estimador de b usando o critério de mínimos quadrados, ou seja, minimizando a soma dos quadrados dos erros.

(c) Com base no modelo proposto, estime o tempo de acondicionamento para um volume de 100 toneladas.

Passo 1

b)

Foi dado o modelo apropriado para descrever o comportamento do tempo em função do volume como:

Y i = b X i + e r r o i

Isolando e r r o i :

e r r o i = Y i - b X i

E, como vamos trabalhar com a soma dos quadrados dos erros (mínimos quadrados), vamos elevar os dois lados da equação ao quadrado e somar os resultados para todos os i ’s, ou seja:

∑ e r r o i 2 = ∑ Y i - b X i 2

Passo 2

E o que a questão pede da gente é um estimador para b , então vamos dizer que essa equação que chegamos é uma função de b :

f b = ∑ Y i - b X i 2

E queremos minimizer a soma dos erros, lembra? E a soma dos erros é justamente essa função aí! Pra descobrir o mínimo de uma função a gente deriva e iguala a zero:

f ' ( b ) = ∑ - 2 X i Y i - b X i = 0

Desevolvendo isso aí, podemos fazer uma distributiva com o somatório:

- 2 ( ∑ X i Y i - b ∑ X i X i ) = 0

Isolando o b :

b = ∑ X i Y i ∑ X i X i

Passo 3

c)

Vamos substituir os valores dos somatórios dados no enunciado para saber o valor de b :

b = ∑ X i Y i ∑ X i X i = 135492 85079 = 1,593

Então a função que relaciona o volume com o tempo fica:

Y i = 1,593 X i + e r r o i

Para um volume de 100 toneladas, X = 100 , então o tempo Y :

Y = 1,593 × 100 + e r r o = 159,3 + e r r o   m i n u t o s

Resposta

b)

b = ∑ X i Y i ∑ X i X i

c)

159,3 + e r r o   m i n u t o s

Exercícios Resolvidos de Regressão Linear

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