Os dados a seguir referem-se a 9 observações sobre o tempo gasto de acondicionamento de um produto em minutos () e seu volume em toneladas ().
(b) Observe que nesse caso, uma reta que descreva o comportamento do tempo em função do volume deveria começar pela origem uma vez que, se não há volume, o tempo de acondicionamento deve ser nulo. Assim, um modelo apropriado para explicar esses dados é . Determine o estimador de usando o critério de mínimos quadrados, ou seja, minimizando a soma dos quadrados dos erros.
(c) Com base no modelo proposto, estime o tempo de acondicionamento para um volume de 100 toneladas.
Passo 1
b)
Foi dado o modelo apropriado para descrever o comportamento do tempo em função do volume como:
Isolando :
E, como vamos trabalhar com a soma dos quadrados dos erros (mínimos quadrados), vamos elevar os dois lados da equação ao quadrado e somar os resultados para todos os ’s, ou seja:
Passo 2
E o que a questão pede da gente é um estimador para , então vamos dizer que essa equação que chegamos é uma função de :
E queremos minimizer a soma dos erros, lembra? E a soma dos erros é justamente essa função aí! Pra descobrir o mínimo de uma função a gente deriva e iguala a zero:
Desevolvendo isso aí, podemos fazer uma distributiva com o somatório:
Isolando o :
Passo 3
c)
Vamos substituir os valores dos somatórios dados no enunciado para saber o valor de :
Então a função que relaciona o volume com o tempo fica:
Para um volume de 100 toneladas, , então o tempo :
Resposta
b)
c)