Sistema de EDO de Dimensão 2 – Retrato de Fase
Considere o sistema .
a) Esboce o retrato de fase e classifique a singularidade (0,0).
b) Ache a solução geral do sistema onde:
c) Ache a solução do sistema da letra (b) com condição inicial
Passo 1
a) Para classificar a singularidade, temos que antes de tudo achar os autovalores da matriz .
Então, fazemos
Portanto,
Passo 2
Para resolver a equação do segundo grau, usamos a fórmula de bhaskara e ficamos com:
Ou seja, a matriz possui autovalores complexos com a parte real diferente de zero e negativa
Passo 3
Então como a matriz possui autovalores da forma:
Com e .
Temos que o retrato de fase é uma espiral se aproximando da origem como na figura abaixo:
E a singularidade é classificada como estável ou atrator.
Passo 4
b) Queremos resolver o sistema linear
A solução geral desse sistema é dada por:
Onde é a solução do sistema linear homogêneo e é a solução particular.
Primeiro, vamos achar a solução homogênea, que tem a forma de:
Onde, é a matriz identidade e são constantes arbitrárias.
Então a nossa missão é achar o e o .
Para isso, temos que saber os autovalores da matriz
Mas já achamos eles na letra (a). Eles são:
Passo 5
Como os autovalores são complexos, o sistema satisfeito por e é
Substituindo os valores, temos
Subtraindo as duas, ficamos com:
E portanto,
Então a solução homogênea do sistema linear é dado por:
Passo 6
Para achar a solução particular do sistema linear, olhemos para a parte não homogênea .
Como ela só depende linearmente de t podemos supor que a solução particular é dada por:
Onde são constantes a serem determinadas.
Substituindo essa solução no nosso sistema linear, ficamos com:
Então temos que resolver o sistema abaixo:
Comparando o lado esquerdo com o lado direito, temos que ter
Resolvendo esse sisteminha achamos:
Portanto a solução particular do nosso sistema linear é:
Agora só somar a solução homogênea com a particular e temos:
Passo 7
c) Agora queremos achar a solução do sistema da letra (b) impondo a condição inicial
Bom, sabemos que a solução geral é dada por
Então,
Logo, fazendo as contas, achamos:
Então a solução do sistema com condição inicial é
Resposta
- Singularidade tipo atrator.
b)
c)