Calcule sendo
E é curva dade pela intersecção de e orientada de modo que sua projeção em é percorrida no sentido anti-horário.
Passo 1
Antes de tudo vamos fazer um gráfico da região para entender melhor a questão. Temos um cilindro com centro cortado por um plano:
Esse desenho não precisa de precisão nenhuma, ok? É só para termos uma ideia mesmo, você pode desenhar um plano qualquer cortando o cilindro.
A questão pede para calcularmos a integral de linha em , que é a interseção do plano inclinado com o cilindro. Como podemos ver, forma uma elipse. Percebeu?
Passo 2
Ok, agora vamos analisar o problema. Reparou que a expressão do campo não é nem um pouco amigável, né? Imagina ainda substituir uma parametrização nisso aí, sem condições. Então vamos simplificar as coisas.
O Teorema de Stokes nos diz isso aqui:
Ou seja, podemos substituir essa integral de linha sobre a curva por uma integral do rotacional de sobre uma superfície que tenha a curva como fronteira. Ah, vamos usar o próprio retalho do plano em forma da elipse, né?
Agora vem o momento em que temos que tomar muito cuidado, olha a expressão do campo de novo:
Repare temos uma indeterminação quando e , portanto, o campo não está definido no eixo de simetria do cilindro.
Então, não podemos usar o plano como superfície, na verdade, não podemos usar nenhuma superfície que tenha apenas como fronteira por causa disso!
Ferrou, né. Não, vamos usar uma superfície que tenha como uma de suas fronteiras. Em vez de usar o plano, vamos usar esse pedaço do cilindro, que também tem como fronteira.
Então, é o pedaço do cilindro cortado pelo plano e é a própria curva mais a borda debaixo do cilindro (uma circunferência).Temos então:
Agora vamos pensar nas orientações. Se está no sentido anti-horário, pela Regra da Mão direita, deve ter vetor normal apontando para dentro. Consequentemente, gira no sentido horário.
Passo 3
Precisamos, então, calcular , sabendo que
Temos:
Passo 4
Agora precisamos parametrizar para encontrar seu vetor normal. Temos o cilindro cortado pelos planos e , portanto, .
Bom, como se trata de um cilindro de raio , vamos usar coordenadas ciliíndricas (deslocadas) com :
O que nos dá a parametrização
Onde
E, como temos uma volta completa, .
Agora, vamos calcular a normal:
A normal fica
Levando para a integral:
Onde é dado por
Simplificando a integral
Show?
Passo 5
Agora, para terminar a questão, precisamos calcular a integral de linha na outra borda da superfície, .
Como a circunferência está no plano , sua equação é a mesma do cilindro:
Parametrizando isso aí em coordenadas polares deslocadas com , temos:
Como temos uma volta completa no sentido horário, vai de a .
Essa última componente é porque a curva está no plano .
Certo, agora vamos derivar isso aí:
Agora vamos escrever o campo nas variáveis da parametrização e usar a fórmula:
Levando para a integral, temos:
Passo 6
Temos então