Teorema de Stokes
Calcule , sendo a curva dada pela intersecção de e orientada de modo que a sua projeção no plano é percorrida uma única vez no sentido anti-horário.
Passo 1
Seria bom fazer um esboço dessas superfícies para entender melhor quem é essa curva , mas imagino que você não faça ideia de que diabos de superfície é .
Bom, eu também não : D
O que a gente precisa saber é que temos um cilindro (na figura abaixo) cortado de alguma forma mística por essa superfície bizarra e que a intersecção forma , ok? Beleza.
Ok, agora vamos analisar o problema. Para encontrar a expressão de , precisamos fazer a intersecção entre a equação do cilindro e a da superfície bizarra. Isso vai nos dar algo mais bizarro ainda, percebeu né? E ainda teríamos que parametrizar ...
Então vamos simplificar as coisas. Vamos usar Stokes, temos:
Ou seja, podemos substituir essa integral de linha sobre a curva por uma integral do rotacional de sobre uma superfície que tenha a curva como fronteira.
Agora vem o momento em que temos que tomar muito cuidado, olha a expressão do campo de novo:
Repare que e não podem ser iguais a zero, pois temos uma indeterminação, portanto, o campo não está definido no eixo .
Então, não podemos usar nenhuma superfície que tenha apenas como fronteira.
Ferrou, né. Não, vamos usar uma superfície que tenha como uma de suas fronteiras. Vamos usar o pedaço do cilindro que tem, em cima, como fronteira e, embaixo, uma circunferência.
Ou seja, nós cortamos o cilindro com um plano (pode ser ) e com a superfície .
Então, é o pedaço do cilindro cortado e é a própria curva mais a borda debaixo do cilindro (uma circunferência ).Temos então:
Agora vamos pensar nas orientações. Se está no sentido anti-horário, pela Regra da Mão direita, deve ter vetor normal apontando para dentro. Consequentemente, gira no sentido horário. Show?
Passo 2
Precisamos, então, calcular , sabendo que
Temos:
Passo 3
Agora precisamos parametrizar para encontrar seu vetor normal. Como é um cilindro, vamos usar coordenadas cilíndricas:
Como temos uma volta completa em torno do eixo , . Já o intervalo de , vai desde (o plano com o qual cortamos o cilindo embaixo) até , a superfície que nos dá , logo, .
Passo 4
Agora vamos calcular a normal:
Passo 5
Levando esse resultado para a integral e escrevendo o campo nas variáveis da parametrização de , temos:
Passo 6
Agora, para terminar a questão, precisamos calcular a integral de linha na outra borda da superfície, .
Como a circunferência está no plano , sua equação é a mesma do cilindro:
Parametrizando isso aí em coordenadas elípticas, temos:
Como temos uma volta completa no sentido horário, vai de a .
Essa última componente é porque a curva está no plano .
Certo, agora vamos derivar isso aí:
Agora vamos escrever o campo nas variáveis da parametrização e usar a fórmula:
Levando para ai ntegral, temos:
Passo 7
Agora vamos resolver isso aí, usando a relação:
Passo 8
Temos então