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Exercícios Resolvidos de Teorema Fundamental do Cálculo com L’Hospital

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Exercício 1112345678910

Enunciado

UFU, Sem Campus, Cálculo 2, Listas de Cálculo 2 - Profº M. C. Fenille - Segunda Lista de Exercícios, Questão 5

5. Calcule a imagem ∫ 0 1 r t d t , sendo

r t = 1 1 + t 2 i → + e - 2 t j → + s e n 3 t k →

Passo 1

Iae, como vai? Essa questão está um pouco complicada? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍

Nesse problema queremos obter a integral ∫ 0 1 r t d t onde r t é uma função vetorial parametrizada.

Como vamos fazer isso? 👀

A função r t é dada por

r t = 1 1 + t 2 i → + e - 2 t j → + s e n 3 t k →

E queremos calcular

∫ 0 1 1 1 + t 2 i → + e - 2 t j → + s e n 3 t k → d t

Podemos separar essa integral em três partes, ou seja

∫ 0 1 1 1 + t 2 i → + e - 2 t j → + s e n 3 t k → d t = ∫ 0 1 1 1 + t 2 i → d t + ∫ 0 1 e - 2 t j → d t + ∫ 0 1 s e n 3 t k → d t

Sacou? Bora começar! 😁

Passo 2

Começando pelo termo 1 1 + t 2 , temos

∫ 1 1 + t 2 i → d t

Pelo teorema fundamental do cálculo, vemos que essa integral é dada por

∫ 1 1 + t 2 i → d t = a r c t g t i →

Aplicando os limites de integração

∫ 0 1 1 1 + t 2 i → d t = a r c t g 1 i → - a r c t g 0 i →

∫ 0 1 1 1 + t 2 i → d t = π 4 i → - 0 i →

∫ 0 1 1 1 + t 2 i → d t = π 4 i →

Entendeu essa parte? 😊

Passo 3

Agora vamos partir para o termo e - 2 t

∫ e - 2 t j → d t

Pelo método de substituição fazendo u = - 2 t e d t = - 1 2 d u

∫ - 1 2 e u j → d u = - 1 2 e u j →

Voltando u para - 2 t e aplicando os limites de integração

∫ e - 2 t j → d t = - 1 2 e - 2 t j →

∫ 0 1 e - 2 t j → d t = - 1 2 e - 2 1 j → - - 1 2 e - 2 0 j → = 1 2 - 1 2 e 2 j →

∫ 0 1 e - 2 t j → d t = e 2 - 1 2 e 2 j →

Tranquilo até aqui? 👀

Passo 4

Agora vamos para o último termo

∫ 0 1 s e n 3 t k → d t

Novamente aplicando o método da substituição fazendo u = 3 t e d t = 1 3 d u ...

∫ s e n 3 t k → d t = ∫ s e n u 3 k → d u

Pelo teorema fundamental do cálculo, temos

∫ s e n u 3 k → d u = - cos ⁡ u 3 k →

Voltando u para 3 t e aplicando os limites de integração

∫ s e n 3 t k → d t = - cos ⁡ 3 t 3 k →

∫ 0 1 s e n 3 t k → d t = - cos ⁡ 3 1 3 k → - - cos ⁡ 3 0 3 k → = cos ⁡ 0 3 - cos ⁡ 3 3 k →

∫ 0 1 s e n 3 t k → d t = 1 3 - cos ⁡ 3 3 k →

Juntando os resultados das integrais...

∫ 0 1 1 1 + t 2 i → + e - 2 t j → + s e n 3 t k → d t = ∫ 0 1 1 1 + t 2 i → d t + ∫ 0 1 e - 2 t j → d t + ∫ 0 1 s e n 3 t k → d t

∫ 0 1 1 1 + t 2 i → + e - 2 t j → + s e n 3 t k → d t = π 4 i → + e 2 - 1 2 e 2 j → + 1 3 - cos ⁡ 3 3 k →

E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí

Resposta

∫ 0 1 1 1 + t 2 i → + e - 2 t j → + s e n 3 t k → d t = π 4 i → + e 2 - 1 2 e 2 j → + 1 3 - cos ⁡ 3 3 k →

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