Calcule os seguintes limites:
Passo 1
De novo temos uma questão em que ele pede para calcular o limite e no numerador e no denominador aparecem integrais. Então, mais uma vez, pequeno gafanhoto, acredito que você pode prever que você vai substituir o limite, cair numa indeterminação, aplicar L’Hospital e ter que usar o Teorema Fundamental do Cálculo para resolver!
Gente, esse pessoal de Cálculo I não tem criatividade, não?
Passo 2
Vamos substituir o valor do limite que aparece aí:
Isso significa que podemos usar nosso queridíssimo L’Hospital! Agora, para isso a gente tem que derivar usando o Teorema Fundamental do Cálculo.
Passo 3
Vamos começar derivando a função do numerador.
Opa! Parece que quem fez o enunciado colocou uma pimentinha para dar uma variada ali. Observa que no numerador desse quociente tem um termo dentro da integral que é função de . Como a integral é em podemos usar aquele macete de encarar esse é como se fosse uma constante e tirá-lo da integral:
Beleza. Aí você lembra que para derivar isso aí, temos que usar a regra do produto, né??
Só para ficar mais fácil se visualizar:
A derivada será dada por:
Que equivale a:
Passo 4
Agora vamos derivar a função do denominador
Observa que primeiro vamos ter que interver os limites te integração para poder aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo:
Passo 5
Por L’Hospital, o limite pode ser reescrito como:
Agora podemos tentar substituir o limite:
Continuamos com indeterminação!
Passo 6
Como resolver essa indeterminação? Aplicando L’Hospital de novo:
É, digamos que não vai dar uma expressão muito bonita:
Eu sei, tá um monstro enorme. Agora, se substituirmos tudo que tem ou vai para , assim como o que é vai para e olha como vai ficar: