UFSC; Cálculo 1; Lista 1.3 – Teorema do Confronto; Exercício C3
C3. Encontre o valor de tal que
Passo 1
Faaaala, galerinha! Tudo certinho com vocês?? Bora lá resolver mais uma questão!!
Esse é um desses exercícios bem típicos do cálculo 1, em que ele já sai nos mandando calcular, e deixa para que nós façamos sozinhos as interpretações necessárias para a sua resolução.
Então vamos lá analisar certinho e ver o que podemos fazer aqui!
O enunciado nos dá um limite, e o resultado desse limite. Porém, uma das funções presentes nesse limite está em função de , que é o que a questão nos pede para descobrir!!
Por onde começamos uma questão desse tipo?
Sempre que temos um limite com várias funções, devemos avaliá-lo, de modo a aplicarmos determinadas propriedades que nos permitam resolvê-lo!
Bora lá então!
Passo 2
Para começarmos a desenvolver o limite dado, vamos dividi-lo usando a regra da soma dos limites, que diz que: .
Desse modo, vamos ter que:
Além disso, como o enunciado nos disse que , temos que é, portanto, constante. Por conta disso, ele pode ser removido do limite:
E agora? O que eu faço com todos esses limites?
Vamos observar cada um deles separadamente para não fazermos confusão!
Passo 3
Começando pelo primeiro limite: , vamos observar que se substituirmos , teremos uma indeterminação matemática, já que ficaremos com .
Por conta disso, é possível aplicarmos a regra de L’Hopital, que diz que o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas! Então, vamos ter que:
Então, voltando para a nossa equação geral, vamos ter que:
Passo 4
Avaliando a nossa equação geral ali do passo 3, vamos ter que, como
E como
Podemos então aplicar o teorema do confronto, que diz que: se uma função que está no meio de outras duas funções que tem o mesmo limite, então obrigatoriamente a função que está no meio terá o mesmo limite das outras duas.
Desse modo, vamos ter que:
Agora, antes de substituirmos acima, vamos aplicar a propriedade da subtração e da divisão de limites, de modo a obter:
Substituindo os valores, vamos ter que:
Ufa! Terminamos!
O segredo de exercícios assim é sempre lembrar dessas propriedades chave! Então já deixa anotado no seu caderninho aí e vamo que vamo!!
Bora lá resolver mais uma questãozinha?