5) Considere as funções e . Determine o valor de .
Passo 1
Pra começar, bora colocar uma função em cima da outra né, já que o enunciado pede o limite de um sobre o outro:
E como todo bom limite, a primeira coisa que a gente faz é substituir e ver o que acontece. Vamos ter:
Pô! Indeterminação! Na integral de cima, a gente acha zero porque os limites de integração são iguais e no segundo, achamos zero porque fechou um período inteiro de uma função periódica . Não vai dar pra sair dessa sem remover a indeterminação viu?
Passo 2
E pra mandar pro espaço essa indeterminação, como deu , podemos pedir ajuda pro tio L’Hospital! Derivando em cima e em baixo, usando o Teorema Fundamental do Cálculo, temos:
Daqui, a gente consegue mexer um pouco na integral se lembrarmos dessa propriedade trigonométrica:
Então beleza, vamos ter:
Como o primeiro limite é o limite fundamental trigonométrico, fechamos!