Determine os pontos críticos da função e classifique-os, justificando, quanto a máximo local, mínimo local ou sela.

Igualamos elas a zero:

Somando as duas equações:

Substituindo na primeira equação:

• se , então .
• se , então .

Logo, os pontos críticos da são e .

Agora temos que partir pras derivadas de ordem superior. Lembrando que

Logo,

Agora podemos partir pro teste da derivada segunda.

O determinante hessiano é dado por

Vamos testar os pontos críticos, começando pelo ponto :

Opa, logo de cara caímos no caso onde o teste da derivada segunda falha!

Pra começo de conversa, vamos calcular o valor de em :

Ok, agora vamos dar uma olhada no sinal dessa função. Se descobrirmos, por exemplo, que , então seria um ponto de mínimo.

É, mas no caso não dá pra dizer nada do sinal dessa função... ela pode assumir tanto valores negativos quanto positivos.

Agora nos resta tentar uma aproximação do ponto crítico por vários caminhos.

Vamos começar fazendo por exemplo. Assim estamos nos aproximando pelo eixo :

Podemos conferir que é um ponto crítico dessa que só depende de :

Agora vamos ver se por essa aproximação a origem é um ponto de máximo, de mínimo ou de inflexão. Pra isso temos que ver que valores a função assume nas proximidades de .

Repare que

Ou seja,

Beleza, então a função vale zero em e . Mas e entre esses valores, o que acontece? Ela é positiva, negativa? Bem, vamos ver!

Podemos testar por exemplo, já que e :

Opa! Isso significa que é negativa nas proximidades de zero para todo .

Portanto, pelo caminho o ponto é um ponto de máximo local.

Agora a gente poderia tentar o caminho . O problema é que aí caímos numa função idêntica à que vimos antes:

Mudou apenas a variável, antes era e agora é .

Então podemos testar por exemplo a aproximação pela reta :

E isso é ótimo, porque . Ou seja, nessa aproximação é um ponto de mínimo.

Concluindo: por um caminho o ponto é um máximo, por outro ele é um mínimo, então ele não é nenhum dos dois, ele é um ponto de sela.

Esse primeiro ponto crítico já deu um trabalhão mas ainda temos outros dois!

Lembrando que:

Então pro ponto :

E temos

logo o ponto é um ponto de mínimo local.

Agora vamos pro último ponto crítico! Repare que as contas vão ser idênticas:

E também temos

Então o ponto também é um ponto de mínimo local de .