Seja , onde .

1. Determine o ponto crítico de
2. Determine, se possível, os valores de , de modo que o ponto crítico seja:
   1. Ponto de máximo local
   2. Ponto de mínimo local
   3. Ponto de sela
3. Se , o que se pode dizer sobre o ponto crítico de encontrado em 1.?

Encontrar pontos críticos:

Igualando as coordenadas:

Pela segunda equação:

Substituindo na primeira equação:

Então temos duas possibilidades:

ou

Primeira possibilidade:

Mas como o enunciado diz que então essa solução não vale.

Logo:

Pela segunda equação novamente:

Então o único ponto crítico é .

Vamos analisar que tipo de ponto crítico é este:

Calculando derivadas segundas:

Calculando essas derivadas no ponto :

Calculando :

Para que seja ponto de máximo, tem que satisfazer duas condições:

Substituindo e :

Logo:

Então não existe nenhuma valor de que satisfaça essas duas desigualdades simultaneamente.

Logo, não existe valor de para que seja ponto de máximo local.

Para que seja ponto de mínimo, tem que satisfazer duas condições:

Substituindo e :

Logo:

Ou seja:

Logo, para que seja ponto de mínimo local.

Para que seja ponto de sela, tem que satisfazer:

Logo, para que seja ponto de sela.

Se :

Opa! Como , então o teste da derivada segunda falhou!

Neste caso, temos que parar pra olhar a função:

Isso não te lembra um produto notável? Tá com mó pinta de

Então vamos igualar a função a esse produto notável!

Igualando o primeiro e último termos:

Pelo segundo termo:

Logo:

Então

Substituindo :

Como , então corresponde a um ponto de mínimo (global inclusive).