Calculo 2 – UNICAMP – P1
Os pontos na superfície de um vulcão são modelados sobre a região por
- Determine e classifique os pontos críticos de .
- Determine o diâmetro e a profundidade da cratera.
- Após um tremor, uma pedra se desprende da superfície sobre o ponto ; supondo que ela siga para baixo na direção de maior inclinação, determine se ela rolará para dentro ou para fora da cratera.
Passo 1
Vamos começar resolvendo a questão devagar, pela letra a). Nela, precisamos determinar os pontos críticos da nossa função . Mas o que são os pontos críticos? Como conseguimos determina-los?
Estes pontos são aqueles que fazem com que as derivadas parciais da nossa função sejam iguais a zero. Isto é:
Em outras palavras, podemos dizer que o gradiente de é o vetor nulo. Logo, . Portanto, precisamos calculas as derivadas parciais da nossa função primeiramente. Logo,
Lembrando que ao derivarmos parcialmente em relação a uma variável, consideramos as demais como constantes.
Agora, devemos igualar as derivadas parciais a zero e descobrir quais os valores de e que satisfazem esta relação. Então, vamos por partes.
Da primeira equação, podemos ter:
Analisando a segunda equação, temos:
E com isto, temos as seguintes possibilidades: se , então ou . Já se temos . Por fim, qualquer valor de e tais que , o que nos dá .
Resumindo as relações acima, temos os seguintes pontos críticos: , , e (percebam que os pontos e satisfazem esta última relação!).
Passo 2
Após determinarmos os pontos críticos, vamos classifica-los (identificar se são pontos de máximo, de mínimo ou de sela). Para isto, precisamos calcular o hessiano de . Relembrando, o hessiano é dado pelo determinante da seguinte matriz:
Calculando as derivadas parciais de segunda ordem, temos:
E assim temos:
Portanto, nosso hessiano é
Agora temos que calcular o para cada um dos casos dos pontos críticos. Começando pelo , temos:
Como , podemos ter um ponto de máximo ou mínimo. Como , então, temos um ponto de mínimo local!
Agora, para (percebam que o ponto e estão aqui inclusos!), temos:
E como o hessiano deu igual a zero, temos que utilizar algum artifício para resolver esta questão. Para isto, vamos trabalhar com a nossa função . Só que agora, vamos trabalhar com ela em coordenadas polares. Portanto,
Derivando, temos:
Portanto, para valores de , temos que . Já para valores de , temos que . Portanto, como a função cresce e depois decresce, temos pontos de máximo em , logo, nos pontos temos pontos de máximo
Passo 3
Agora vamos resolver a letra b). Para isto, vamos relacionar a geometria do vulcão com os resultados obtidos na letra a).
A profundidade será a diferença entre os valores da função no ponto de máximo pelo ponto de mínimo obtido. Portanto, temos:
OBS: percebam que poderíamos pegar qualquer valor de , pois estes pontos são todos do mesmo plano (vetor gradiente é nulo!!).
Já o diâmetro da cratera será , sendo . Sabemos que é este valor pois os pontos de máximo são obtidos em . Portanto, o diâmetro é igual a 120.
Passo 4
Por fim, temos a letra c). Sabemos que uma pedra caiu no ponto e que ela rolou para baixo na direção de maior inclinação. Com isto, queremos saber se ela rolou para dentro (em direção ao (0,0)) da cratera ou para fora.
Bom, para resolvermos esta questão, nem precisamos calcular vetores gradientes e analisar o que está acontecendo. Primeiro, sabemos que a bola está dentro da cratera (pois a distância do ponto de mínimo até o ponto é menor que o raio da cratera).
Como já sabemos disto, e ela está rolando para baixo, então, automaticamente, a bola está rolando para dentro da cratera. Com isto, finalizamos a letra c) sem realizar nenhuma conta, e consequentemente, finalizamos a questão!
Resposta
- Os pontos críticos são e . O primeiro é um ponto de mínimo e o segundo são pontos de máximo;
- A profundidade é igual a 81 m e o diâmetro é igual a 120 m.
- Para dentro da cratera.