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Exercícios Resolvidos de Teste da Derivada Segunda Inconclusivo

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Exercício 101234567891112

Enunciado

Máximos e mínimos

Seja f x , y = x 3 + 2 y 2 + x y - 2 x + 5 y . Com relação ao ponto P = - 1 , - 1 , podemos afirmar que:

  1. P é um ponto de sela
  2. P é um ponto de mínimo local
  3. P é um ponto de máximo local
  4. P nao é um ponto critico
  5. P é um ponto crítico, mas o teste da segunda derivada resulta inconclusivo
  6. nenhuma das demais alternativas é correta.

Passo 1

Calcular gradiente:

∇ f x , y = ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y

⇒ ∇ f x , y = 3 x 2 + y - 2,4 y + x + 5

Passo 2

Devemos testar se o ponto P é ponto crítico

∇ f P = 3 ∙ - 1 2 + - 1 - 2,4 ∙ - 1 + - 1 + 5

⟹ ∇ f P = 3 - 1 - 2 , - 4 - 1 + 5 = 0,0

Entao ele é ponto crítico.

Passo 3

Vamos analisar esse pontos:

Calculando derivadas segundas:

f x x = ∂ ∂ x ∂ f ∂ x = ∂ ∂ x 3 x 2 + y - 2 = 6 x

f y y = ∂ ∂ y ∂ f ∂ y = ∂ ∂ y 4 y + x + 5 = 4

f x y = ∂ ∂ x ∂ f ∂ y = ∂ ∂ x 4 y + x + 5 = 1

Passo 4

Calculando H x , y :

H x , y = f x x x , y f x y x , y f y x x , y f y y x , y

⇒ H x , y = 6 x 1 1 4

⇒ H x , y = 6 x 4 - 1 1

⇒ H x , y = 24 x - 1

Passo 5

Agora vamos calcular H x , y para cada ponto crítico:

P = - 1 , - 1

H P = H - 1 , - 1

⇒ H P = 24 - 1 - 1

⇒ H P = - 25

Como H P < 0 , então este é um ponto de sela.

Resposta

Alternativa (a)