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Exercícios Resolvidos de Tipos de Funções de Várias Variáveis

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Enunciado

Livro James Stewart, Volume 2, 7ª Edição, Capítulo 14, Seção 1, Exercício 10

(Cap. 14.1 - Ex. 10) Seja F x , y = 1 + 4 - y 2 .

(a) Calcule F ( 3,1 ) .

(b) Determine e esboce o domínio de F .

(c) Determine a imagem de F .

Passo 1

Falaaa aí! Tudo joinha? Bora lá resolver mais uma questão?

Esse exercício aqui, é dividido em 3 itens (a), (b) e (c), então nós vamos fazer um de cada vez, combinado?

O item (a), pede pra gente quer calcular F ( 3,1 ) . Isso significa que a gente vai substituir x = 3 e y = 1 na nossa função F ( x , y ) , beleza? Vamos lá então!

Nossa função é: F x , y = 1 + 4 - y 2 . Maaaas... não tem x nela!! Onde que a gente vai substituir x = 3 ?

Bom, a gente não vai! Se não tem o x ali, não se preocupe com ele. Vamos substituir só o y ...

F 3,1 = 1 + 4 - 1 2

F ( 3,1 ) = 1 + 3

Prontinho! Item (a) resolvido! Bem simples, né?

Passo 2

Agora vamos pro item (b).

Esse item pede pra gente encontrar o domínio da função F . E o que isso significa? O domínio de uma função, nada mais é do que o conjunto de todas as entradas possíveis da função. Por exemplo, o domínio de uma função do tipo f x = x 2 são todos os números reais. Já o domínio de uma função do tipo f x = 1 / x , são todos os reais, com exceção de 0 . E assim por diante...

Bora lá encontrar o domínio então? Antes de começarmos, vamos reescrever nossa função para ficar mais organizada:

z = 1 + 4 - y 2

Agora vamos notar uma coisa. Qual restrição a gente tem aqui? A raiz quadrada não pode ser negativa, não é?

Ou seja, a gente precisa que:

4 - y 2 ≥ 0

- y 2 ≥ - 4

y 2 ≤ 4

y ≥ - 2     e   y ≤ 2

Como o x   não tá na função, ele pode assumir qualquer valor.

Então essa relaçãozinha que fizemos pra y será nosso domínio!! Então:

D = { x , y | 4 - y 2 ≥ 0 } → { ( x , y ) | x ∈ R ,   y ∈ - 2,2 }

Mais simples do que você imaginou, não é mesmo?

O esboço dele ficará da seguinte maneira:

Ou, em 3 D :

Passo 3

Por fim, vamos fazer o item (c) agora. Esse item nos pede pra encontrar a imagem. Mas o que é a imagem de uma função? O conjunto imagem de uma função, é um subconjunto do contradomínio, formado por todos os elementos correspondentes de algum elemento do domínio. Vamos encontrar a imagem da nossa função que essa ideia vai ficar mais clara!

Bom, vamos pensar aqui: a raiz deve ser sempre positiva, certo? Do contrário teremos um número complexo, o que não cabe para essa função aqui. Então:

4 - y 2 ≥ 0

Veja também que o valor máximo para essa raiz é quando y = 0 , ou seja:

4 - 0 2 = 4 = 2 é o máximo que essa raiz pode atingir (porque o y 2 está negativo, então qualquer valor aí vai diminuir a raiz)

Ou seja, a gente tem que:

0 ≤ 4 - y 2 ≤ 2

Então, se a gente somar 1 em todos os pedacinhos da relação aqui em cima, temos mais ou menos isso aqui:

1 ≤ 1 + 4 - y 2 ≤ 3

E aí chegamos na nossa função, então a imagem é:

I m   F = [ 1,3 ]

Uhul! Conseguimos!

Pra essa questão é isso, pessoal!! Bora resolver mais uma?

Resposta

a) F 3,1 = 1 + 3

b) D = { x , y | 4 - y 2 ≥ 0 } → { ( x , y ) | x ∈ R ,   y ∈ - 2,2 }

c) I m F = [ 1,3 ]

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