Seja A ⊆ R² . Uma função z = f(x, y), f: A → R , é limitada em um conjunto B ⊆ A quando existe um número real M > 0 tal que |f(x, y)| ≤ M , para todo (x, y) ∈ B . Determine quais as seguintes funções são ou não limitadas em A = R^2 \ {(0,0)} . Justifique

e(x, y) = 1 / (x^2 + y^2)

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos começar?

O problema começa nos dando essa função de duas variáveis

e x , y = 1 x 2 + y 2

E pediu para determinar se ela é limitada

Você lembra o que é uma função limitada?

Uma função limitada é quando sua imagem está contida em um intervalo, ou seja, a função não pode fugir e valer qualquer valor

Isso acontece com o seno e o cosseno! Não importa o ângulo, os valores retornados vão estar obrigatoriamente entre [ - 1,1 ]

Como não temos nenhuma dessas funções trigonométricas na nossa função, isso significa que ela não é limitada? NÃO!

Para verificar se ela é limitada vamos tentar estabelecer uma relação de desigualdade, relacionando numerador e denominador, e chegar a intervalos finitos nos extremos: teremos uma função limitada

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

A função que precisamos analisar é essa

1 x 2 + y 2

Para valores pequenos de x e y vemos que essa função explode! Olha só, para x = 0,0001   e   y = 0,0001

e = 1 10 - 4 2 + 10 - 4 2 = 1 2 × 10 - 8 = 5 × 10 7

Beleza?

Agora pensa para valores cada vez mais próximos de 0 , ela explore real! Então ela não é limitada!

Para valores grandes de x e y essa função tende à zero, então ela seria limitada inferiormente, mas para afirmar que uma função é limitada, a imagem dela precisa ser limitada a um intervalo fechado!

Passo 3

Assim nossa função

e x , y = 1 x 2 + y 2

Não é limitada

Beleza? Espero ter ajudado!

Até a próxima!

Resposta

n ã o   é   l i m i t a d a

Exercícios Resolvidos de Tipos de Funções de Várias Variáveis

Ver Teoria

Exercícios de Livros Relacionados