UFTPR – Cálculo 2 – Lista 3 – Questão 1f
Seja . Uma função , é limitada em um conjunto quando existe um número real tal que , para todo . Determine quais as seguintes funções são ou não limitadas em . Justifique
Passo 1
Oi pessoal, tudo bem? Vamos começar?
O problema começa nos dando essa função de duas variáveis
E pediu para determinar se ela é limitada
Você lembra o que é uma função limitada?
Uma função limitada é quando sua imagem está contida em um intervalo, ou seja, a função não pode fugir e valer qualquer valor
Isso acontece com o seno e o cosseno! Não importa o ângulo, os valores retornados vão estar obrigatoriamente entre
Como não temos nenhuma dessas funções trigonométricas na nossa função, isso significa que ela não é limitada? NÃO!
Para verificar se ela é limitada vamos tentar estabelecer uma relação de desigualdade, relacionando numerador e denominador, e chegar a intervalos finitos nos extremos: teremos uma função limitada
Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!
Passo 2
A função que precisamos analisar é essa
Para valores pequenos de e vemos que essa função explode! Olha só, para
Beleza?
Agora pensa para valores cada vez mais próximos de , ela explore real! Então ela não é limitada!
Para valores grandes de e essa função tende à zero, então ela seria limitada inferiormente, mas para afirmar que uma função é limitada, a imagem dela precisa ser limitada a um intervalo fechado!
Passo 3
Assim nossa função
Não é limitada
Beleza? Espero ter ajudado!
Até a próxima!