UFTPR – Cálculo 2 – Lista 3 – Questão 1c
Seja . Uma função , é limitada em um conjunto quando existe um número real tal que , para todo . Determine quais as seguintes funções são ou não limitadas em . Justifique
Passo 1
Oi pessoal, tudo bem? Vamos começar?
O problema começa nos dando essa função de duas variáveis
E pediu para determinar se ela é limitada
Você lembra o que é uma função limitada?
Uma função limitada é quando sua imagem está contida em um intervalo, ou seja, a função não pode fugir e valer qualquer valor
Isso acontece com o seno e o cosseno! Não importa o ângulo, os valores retornados vão estar obrigatoriamente entre
Como não temos nenhuma dessas funções trigonométricas na nossa função, isso significa que ela não é limitada? NÃO!
Para verificar se ela é limitada vamos tentar estabelecer uma relação de desigualdade, relacionando numerador e denominador, e chegar a intervalos finitos nos extremos: teremos uma função limitada
Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!
Passo 2
Nossa função é a seguinte
(lembrando que o teorema fala sobre o módulo da função )
Olhando para o numerador podemos dizer que
Mas uma maneira de escrever o módulo é em função da raiz da variável ao quadrado, então
Beleza?
Passo 3
Agora vamos reescrever nossa função como um produto de duas
Mas sabemos que
É limitada, mas só é limitada inferiormente, sendo .
E o produto de uma função limitada por uma não limitada é uma função não limitada
Então não temos uma função limitada!
Isso também vale para quando temos no numerador, ao invés de .
Beleza? Espero ter ajudado!
Até a próxima!