Seja A ⊆ R² . Uma função z = f(x, y), f: A → R , é limitada em um conjunto B ⊆ A quando existe um número real M > 0 tal que |f(x, y)| ≤ M , para todo (x, y) ∈ B . Determine quais as seguintes funções são ou não limitadas em A = R^2 \ { (0,0) } . Justifique

a(x, y) = x^2 / (x^2 + y^2)

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos começar?

O problema começa nos dando essa função de duas variáveis

a x , y = x 2 x 2 + y 2

E pediu para determinar se ela é limitada

Você lembra o que é uma função limitada?

Uma função limitada é quando sua imagem está contida em um intervalo, ou seja, a função não pode fugir e valer qualquer valor

Isso acontece com o seno e o cosseno! Não importa o ângulo, os valores retornados vão estar obrigatoriamente entre [ - 1,1 ]

Como não temos nenhuma dessas funções trigonométricas na nossa função, isso significa que ela não é limitada? NÃO!

Para verificar se ela é limitada vamos tentar estabelecer uma relação de desigualdade, relacionando numerador e denominador, e chegar a intervalos finitos nos extremos: teremos uma função limitada

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Nossa função é a seguinte

a x , y = x 2 x 2 + y 2

Olhando para o numerador podemos dizer que

x 2 > 0

Certo? E analisando o denominador podemos dizer que

0 < x 2 < x 2 + y 2

Beleza?

Passo 3

Agora vamos dividir as três partes por x 2 + y 2

0 x 2 + y 2   < x 2 x 2 + y 2 < x 2 + y 2 x 2 + y 2

Podemos simplificar e assim ficamos

0 < a x , y < 1

Então temos sim uma função limitada!

Isso também vale para quando temos y 2 no numerador, ao invés de x 2 .

Beleza? Espero ter ajudado!

Até a próxima!

Resposta

é   l i m i t a d a

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