A2 T15
Assinale a transformação linear, , resultante da reflexão ortogonal através da reta seguida da reflexão ortogonal através da reta :
Passo 1
Vamos por partes. Nossa transformação , pode ser escrita da seguinte forma:
Onde é a transformação que reflete pela reta . Quando aplicada em vetores da reta ela retorna os próprios vetores da reta, e quando aplicada em vetores ortogonais a reta ela retorna eles vezes .
Os vetores na reta são esses:
E os ortogonais são da forma:
Logo,
Analogamente, nossa reflete pela reta , cujos vetores são da forma:
E cujos vetores ortogonais são:
Então ela faz o seguinte:
Passo 2
Agora nós podemos encontrar as duas transformações pra achar a fórmula geral, ou achar as matrizes, multiplicar e depois passar pra de volta. Bom, vamos achar essas benditas !
Primeiro :
Então:
De temos que:
Substituindo em :
Substituindo em :
Vamos deixar essas relações guardadas e voltar pra nossa primeira equação:
Substituindo e :
Passo 3
Agora :
Então temos:
De :
Substituindo em :
Substituindo em :
Voltando pra nossa primeira equação:
Passo 4
Ufa, finalmente podemos achar :
Fala sério, você ficou com medo quando apareceu aquela equação enorme né? haha. Mas no final deu tudo certo, a resposta é a .
Resposta
Letra