Seja a rotação de 90° no sentido horário em torno da origem seguida pela projeção ortogonal sobre o eixo x. Calcule a matriz de T (em relação à base canônica).
(a)
(b)
(c)
(d)
Passo 1
Temos uma transformação seguida da outra, então vamos ter que trabalhar com composição de transformações lineares!
Vamos chamar de R a matriz que representa a rotação de 90° em torno da origem no sentido horário.
Bom, a matriz de rotação de um ângulo em torno da origem no sentido anti-horário é dada por:
Se queremos a matriz de rotação no sentido horário, basta usar a transposta dessa matriz!
Logo:
Como
Passo 2
Agora vamos chamar de P a matriz de projeção ortogonal no eixo x.
Para achar a matriz que representa essa transformação linear, vamos aplicar a transformação nos vetores da base em que estamos trabalhando (que no caso é a base canônica).
Temos:
Logo, a matriz que representa essa transformação é:
Passo 3
Agora é só fazer a composição dessas duas transformações!
Lembrando que a transformação que vem primeiro fica à esquerda, vamos querer achar:
Resposta
(b)