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Exercícios Resolvidos de Transformações Lineares Geométricas Compostas

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Exercício 12345

Enunciado

Queremos projetar um vetor em R 3 sobre o plano y = z , rotacioná-lo de 45 ° em torno do eixo z e, por fim, refletí-lo em torno do plano z = 0 . Sabe-se que as transformações que realizam essas operações são, respectivamente:

P x , y , z = 1 2 x 2 , y + z , y + z  

R x , y , z = 1 2 x - y , x + y , z 2

M x , y , z = x , y , - z

Qual das seguintes matrizes realiza as operações nas ordens pedidas?

a   S = 1 0 0 0 1 2 1 2 0 1 2 1 2   × 1 2 - 1 2 0 1 2 1 2 0 0 0 1 × 1 0 0 0 1 0 0 0 - 1

b   S = 1 0 0 0 1 2 1 2 0 1 2 1 2 × 1 2 1 2 0 - 1 2 1 2 0 0 0 1 × 1 0 0 0 1 0 0 0 - 1

c   S = 1 0 0 0 1 0 0 0 - 1 × 1 2 - 1 2 0 1 2 1 2 0 0 0 1 × 1 0 0 0 1 2 1 2 0 1 2 1 2

d   S = 1 0 0 0 1 0 0 0 - 1 × 1 2 1 2 0 - 1 2 1 2 0 0 0 1 × 1 0 0 0 1 2 1 2 0 1 2 1 2

Passo 1

Ufa, que bom que já deram as T L s pra gente, facilita bastante haha. Vamos começar pela matriz P que projeta o vetor:

P 1,0 , 0 = 1,0 , 0

P 0,1 , 0 = 0 , 1 2 , 1 2

P 0,0 , 1 = 0 , 1 2 , 1 2

Logo:

P = 1 0 0 0 1 2 1 2 0 1 2 1 2

Passo 2

Agora a matriz R que rotaciona:

R 1,0 , 0 = 1 2 , 1 2 , 0

R 0,1 , 0 = - 1 2 , 1 2 , 0

R 0,0 , 1 = 0,0 , 1

Sendo assim:

R = 1 2 - 1 2 0 1 2 1 2 0 0 0 1

Passo 3

Por fim, temos que achar a matriz M :

M 1,0 , 0 = 1,0 , 0

M 0,1 , 0 = 0,1 , 0

M 0,0 , 1 = 0,0 , - 1

Dessa forma,

M = 1 0 0 0 1 0 0 0 - 1

Passo 4

Agora basta prestarmos atenção na ordem da multiplicação! A ordem de precedência é da direita para a esquerda.

Como queremos projetar P →   rotacionar ( R ) →   refletir M , faremos:

S = M × R × P = 1 0 0 0 1 0 0 0 - 1 × 1 2 - 1 2 0 1 2 1 2 0 0 0 1 × 1 0 0 0 1 2 1 2 0 1 2 1 2

Então, a resposta é a letra c

Resposta

Letra c

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Seja T x , y , z = 2 x + y , x + y + z , y - 3 z de R 3 em R 3 com produto interno canônico.Mostre que T é um operador auto-adjunto mas não ortogonal.Se v = ( 2 , - 1,5 ) e w = ( 3,0 , 1 ) , verifique
Seja V um espaço vetorial real de dimensão n , T : V → V um operador linear auto-adjunto e v ∈ V um autovetor de T .Mostre que [ v ] , o espaço gerado por v , é invariante por aplicação do aperador T
Seja o operador linear T :R 3 → R 3 cuja matriz em relação à base canônica é 1 4 2 4 - 5 - 4 2 - 4 1 Exiba uma base ortonormal de autovetores.
Dada a matriz A = a 0 0 0 b c 0 c b Mostre que os autovalores são: a ,b + ceb - c Ache uma base de autovetores
Mostre que se T é uma transformação ortogonal do plano no plano, sua matriz em relação à base canônica só pode ser da forma: A = cos ⁡ α - s e nα s e nα cos ⁡ α Ou da forma: B = cos ⁡ α s e nα s e nα