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Exercícios Resolvidos de Transformada da Convolução

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Exercício 21345678910

Enunciado

Calcule a convolução de f t = 2 t e g t = s e n   t .

Passo 1

Para calcular essa convolução, usamos a definição:

∫ 0 t 2 t - τ sen ⁡ τ d τ

Ué, não seria:

∫ 0 t 2 τ sen ⁡ t - τ d τ

Tanto faz, jovem, escolhemos a que for mais conveniente. Vamos pegar a primeira mesmo.

Passo 2

∫ 0 t 2 t - τ sen ⁡ τ d τ = ∫ 0 t 2 t sen ⁡ τ d τ - ∫ 0 t 2 τ sen ⁡ τ d τ

Vamos trabalhar cada integral separadamente

Passo 3

Dá uma olhada que aqui estamos integrando em relação a τ , então t é uma constante e sai da integral assim como o 2:

∫ 0 t 2 t sen ⁡ τ d τ = 2 t ∫ 0 t sen ⁡ τ d τ = - 2 t cos ⁡ τ 0 t = - 2 t cos ⁡ t + 2 t  

Passo 4

Para a segunda integral, usamos a integração por partes com:

u = 2 τ v = - cos ⁡ ( τ ) d u = 2 d τ d v = sen ⁡ τ d τ

Assim:

∫ 0 t 2 τ sen ⁡ τ d τ = u v 0 t - ∫ 0 t v d u = - 2 τ cos ⁡ τ | 0 t + 2 ∫ 0 t cos ⁡ τ d τ =

- 2 τ cos ⁡ τ + 2 s e n τ 0 t = - 2 t cos ⁡ t + 2 s e n t

Juntando as integrais, chegamos ao resultado final. Fique atento ao sinal:

f t * g t = - 2 t cos ⁡ t + 2 t + 2 t cos ⁡ t - 2 sen ⁡ t

f t * g t = 2 t - 2 s e n t

Resposta

f t * g t = 2 t - 2 s e n t

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