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Exercícios Resolvidos de Transformada da Convolução

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Exercício 10123456789

Enunciado

UFMG, Sem Campus, Equações Diferenciais A, Listas de EDA - Profª Alejandra Russi - Lista 10 - Função impulso unitário e convolução, Questão 4.3

Questão 4. Determine a transformada inversa das seguintes funções utilizando frações parciais e convolução:

3. H s = s ( s + 1 ) s 2 + 4

Passo 1

Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎

Nesse problema queremos calcular a transformada inversa da função G s = s ( s + 1 ) s 2 + 4 .

Lembra como fazemos isso? 🤔

Para resolver esse problema temos que usar o método de frações parciais e também o teorema da convolução!

O método de solução em frações parciais consiste em separar a função em frações de forma que conseguimos aplicar a transformada em cada fração separadamente...

Já o teorema da convolução é usado quando temos o produto entre duas funções e assim para obter sua transformada inversa aplicamos a fórmula

f t = p s · q s = ∫ 0 t f τ g t - τ d τ

Em que f é a transformada inversa de p e g é a transformada inversa de q ...

Sacou? Bora começar! 😉

Passo 2

Vamos começar calculando a transformada inversa por meio de frações parciais...

G s = s ( s + 1 ) s 2 + 4 = A s + 1 + B s + C s 2 + 4

s s + 1 s 2 + 4 = A s 2 + 4 + s + 1 B s + C s + 1 s 2 + 4

s s + 1 s 2 + 4 = A s 2 + 4 A + B s 2 + C s + B s + C s + 1 s 2 + 4

s s + 1 s 2 + 4 = A + B s 2 + B + C s + 4 A + C s + 1 s 2 + 4

Por igualdade de polinômios, temos

A + B = 0 B + C = 1 4 A + C = 0 → A = - 1 5 B = 1 5 C = 4 5

Portando temos que

F s = - 1 5 · 1 s + 1 + 1 5 · s s 2 + 4 - 4 5 · 1 s 2 + 4

Aplicando a transformada inversa...

L - 1 F s = L - 1 - 1 5 · 1 s + 1 + 1 5 · s s 2 + 4 - 4 5 · 1 s 2 + 4

L - 1 F s = - 1 5 L - 1 1 s + 1 + 1 5 L - 1 s s 2 + 4 - 4 5 L - 1 1 s 2 + 4

Sabemos que L - 1 1 s + a = e - a t , L - 1 s s 2 + a 2 = cos ⁡ a t e L - 1 a s 2 + a 2 = sin ⁡ a t , ou seja

L - 1 F s = - 1 5 e - t + 1 5 cos ⁡ 2 t + 2 5 sin ⁡ 2 t

Tranquilo até aqui? 😐

Passo 3

Para aplicar o teorema da convolução, podemos definir que p s = s s 2 + 4 e, portanto, f τ = cos ⁡ 2 τ e também que q s = 1 s + 1 e consequentemente g t - τ = e - t - τ . Ou seja

f t = f s · g s = ∫ 0 t f τ g t - τ d τ

f t = ∫ 0 t cos ⁡ 2 τ · e - t - τ d τ

f t = ∫ 0 t cos ⁡ 2 τ e - t e τ d τ

f t = e - t ∫ 0 t e τ cos ⁡ 2 τ d τ

Pelo método de integração por partes, temos

∫ e τ cos ⁡ 2 τ d τ = e τ cos ⁡ 2 τ 5 + 2 e τ sin ⁡ 2 τ 5

Aplicando os limites de integração

∫ 0 t e τ cos ⁡ 2 τ d τ = e t cos ⁡ 2 t 5 + 2 e t sin ⁡ 2 t 5 - e 0 cos ⁡ 0 5 + 2 e 0 sin ⁡ 0 5

∫ 0 t e τ cos ⁡ 2 τ d τ = e t cos ⁡ 2 t 5 + 2 e t sin ⁡ 2 t 5 - 1 5

Substituindo em f t

f t = e - t ∫ 0 t e τ cos ⁡ 2 τ d τ

f t = e - t e t cos ⁡ 2 t 5 + 2 e t sin ⁡ 2 t 5 - 1 5

f t = cos ⁡ 2 t 5 + 2 sin ⁡ 2 t 5 - 1 5 e - t

Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁

Resposta

L - 1 F s = - 1 5 e - t + 1 5 cos ⁡ 2 t + 2 5 sin ⁡ 2 t

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