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Exercícios Resolvidos de Transformada da Convolução

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Exercício 91234567810

Enunciado

UFMG, Sem Campus, Equações Diferenciais A, Listas de EDA - Profª Alejandra Russi - Lista 10 - Função impulso unitário e convolução, Questão 4.2

Questão 4. Determine a transformada inversa das seguintes funções utilizando frações parciais e convolução:

2. G s = 1 s s 2 - 4 s + 5

Passo 1

Iae, como vai? Essa questão está difícil, né? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍

Nesse problema queremos calcular a transformada inversa da função G s = 1 s s 2 - 4 s + 5 .

Lembra como fazemos isso? 🤔

Para resolver esse problema temos que usar o método de frações parciais e também o teorema da convolução!

O método de solução em frações parciais consiste em separar a função em frações de forma que conseguimos aplicar a transformada em cada fração separadamente...

Já o teorema da convolução é usado quando temos o produto entre duas funções e assim para obter sua transformada inversa aplicamos a fórmula

f t = p s · q s = ∫ 0 t f τ g t - τ d τ

Em que f é a transformada inversa de p e g é a transformada inversa de q ...

Sacou? Bora começar! 😉

Passo 2

Vamos começar calculando a transformada inversa por meio de frações parciais...

G s = 1 s s 2 - 4 s + 5 = A s + B s + C s 2 - 4 s + 5

1 s s 2 - 4 s + 5 = A s 2 - 4 s + 5 + s B s + C s s 2 - 4 s + 5

1 s s 2 - 4 s + 5 = A s 2 - 4 A s + 5 A + B s 2 + C s s s 2 - 4 s + 5

1 s s 2 - 4 s + 5 = A + B s 2 + - 4 A + C s + 5 A s s 2 - 4 s + 5

Por igualdade de polinômios, temos

A + B = 0 - 4 A + C = 0 5 A = 1 → A = 1 5 B = - 1 5 C = 4 5

Portando temos que

F s = 1 5 · 1 s + 1 5 · - s + 4 s 2 - 4 s + 5

Aplicando a transformada inversa...

L - 1 F s = L - 1 1 5 · 1 s + 1 5 · - s + 4 s 2 - 4 s + 5

L - 1 F s = 1 5 L - 1 1 s - 1 5 L - 1 s - 4 s 2 - 4 s + 5

Podemos ainda expandir a fração s - 4 s 2 - 4 s + 5 como s - 2 s - 2 2 + 1 - 2 s - 2 2 + 1

L - 1 F s = 1 5 L - 1 1 s - 1 5 L - 1 s - 2 s - 2 2 + 1 - 2 s - 2 2 + 1

L - 1 F s = 1 5 L - 1 1 s - 1 5 L - 1 s - 2 s - 2 2 + 1 - 2 L - 1 1 s - 2 2 + 1

Sabemos que L - 1 1 s = H t , L - 1 s + a s + a 2 + b = e - b t cos ⁡ a t e L - 1 b s + a 2 + b = e - b t s in ⁡ a t , ou seja

L - 1 F s = 1 5 H t - 1 5 e 2 t cos ⁡ t - 2 e 2 t s in ⁡ t

L - 1 F s = 1 5 H t - 1 5 e 2 t cos ⁡ t + 2 5 e 2 t sin ⁡ t

Tranquilo até aqui? 😐

Passo 3

Para aplicar o teorema da convolução, podemos definir que p s = 1 s e, portanto, f τ = H τ e também que q s = 1 s 2 - 4 s + 5 e consequentemente g t - τ = e 2 t - τ sin ⁡ t - τ . Ou seja

f t = f s · g s = ∫ 0 t f τ g t - τ d τ

f t = ∫ 0 t H τ · e 2 t - τ sin ⁡ t - τ d τ

Para τ > 0 , a função degrau H τ = 1 , portanto

f t = ∫ 0 t e 2 t - 2 τ sin ⁡ t - τ d τ

f t = e 2 t ∫ 0 t e - 2 τ sin ⁡ t - τ d τ

Pelo método de integração por partes, temos

∫ e - 2 τ sin ⁡ t - τ d τ = e - 2 τ cos ⁡ t - τ 5 - 2 e - 2 τ sin ⁡ t - τ 5

Aplicando os limites de integração

∫ 0 t e - 2 τ sin ⁡ t - τ d τ = e - 2 t cos ⁡ t - t 5 - 2 e - 2 t sin ⁡ t - t 5 - e 0 cos ⁡ t 5 - 2 e 0 sin ⁡ t 5

∫ 0 t e - 2 τ sin ⁡ t - τ d τ = e - 2 t 5 - cos ⁡ t 5 + 2 sin ⁡ t 5

Substituindo em f t

f t = e 2 t ∫ 0 t e - 2 τ sin ⁡ t - τ d τ

f t = e 2 t e - 2 t 5 - cos ⁡ t 5 + 2 sin ⁡ t 5

f t = 1 5 - e 2 t cos ⁡ t 5 + 2 e 2 t sin ⁡ t 5 ,     t > 0

E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí

Resposta

L - 1 F s = 1 5 H t - 1 5 e 2 t cos ⁡ t + 2 5 e 2 t sin ⁡ t

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