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Exercícios Resolvidos de Transformada da Convolução

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Exercício 81234567910

Enunciado

UFMG, Sem Campus, Equações Diferenciais A, Listas de EDA - Profª Alejandra Russi - Lista 10 - Função impulso unitário e convolução, Questão 4.1

Questão 4. Determine a transformada inversa das seguintes funções utilizando frações parciais e convolução:

1. F s = 1 s s + 3

Passo 1

Fala aí!! Bem-vindo! Está um pouco complicada essa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍

Nesse problema queremos calcular a transformada inversa da função F s = 1 s s + 3 .

Lembra como fazemos isso? 🤔

Para resolver esse problema temos que usar o método de frações parciais e também o teorema da convolução!

O método de solução em frações parciais consiste em separar a função em frações de forma que conseguimos aplicar a transformada em cada fração separadamente...

Já o teorema da convolução é usado quando temos o produto entre duas funções e assim para obter sua transformada inversa aplicamos a fórmula

f t = p s · q s = ∫ 0 t f τ g t - τ d τ

Em que f é a transformada inversa de p e g é a transformada inversa de q ...

Sacou? Bora começar! 😉

Passo 2

Vamos começar calculando a transformada inversa por meio de frações parciais...

F s = 1 s s + 3 = A s + B s + 3

1 s s + 3 = A s + 3 + B s s s + 3

1 s s + 3 = A + B s + 3 A s s + 3

Por igualdade de polinômios, temos

A + B = 0 3 A = 1 → A = 1 3 B = - 1 3

Portando temos que

F s = 1 3 · 1 s - 1 3 · 1 s + 3

Aplicando a transformada inversa...

L - 1 F s = L - 1 1 3 · 1 s - 1 3 · 1 s + 3

L - 1 F s = 1 3 L - 1 1 s - 1 3 L - 1 1 s + 3

Sabemos que L - 1 1 s = H t e L - 1 1 s - a = e a t , ou seja

L - 1 F s = 1 3 H t - 1 3 e - 3 t

Tranquilo até aqui? 😐

Passo 3

Para aplicar o teorema da convolução, podemos definir que p s = 1 s e, portanto, f τ = H τ e também que q s = 1 s + 3 e consequentemente g t - τ = e - 3 t - τ . Ou seja

f t = f s · g s = ∫ 0 t f τ g t - τ d τ

f t = ∫ 0 t H τ · e - 3 t - τ d τ

Para τ > 0 , a função degrau H τ = 1 , portanto

f t = ∫ 0 t e - 3 t + 3 τ d τ

f t = ∫ 0 t e - 3 t e 3 τ d τ

f t = e - 3 t ∫ 0 t e 3 τ d τ

f t = e - 3 t · 1 3 e 3 t - 1 3

f t = 1 3 - 1 3 e - 3 t ,     t > 0

É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌

Resposta

L - 1 F s = 1 3 H t - 1 3 e - 3 t

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