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Exercícios Resolvidos de Transformada de Laplace da Função Degrau

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Exercício 21123456789101112131415161718192022

Enunciado

Calcule L f t ( s ) , onde

f t = 0 ,   s e   0 ≤ t ≤ 2 t - 3 ,   s e   2 ≤ t ≤ 3 - 1 ,   s e   t ≥ 3

Dica: Escreve a função f   em termos de função degrau.

Passo 1

Vamos escrever a função   f em termos de função degrau. Bora seguir a dica.

Observa que :

u 2   ( t )   =   0 , para t < 2 e u 2   ( t )   =   1 , para t > 2 .

Assim, podemos multiplicar a função degrau por t - 3 .

g t = t - 3 u 2   t  

Até agora então, temos o seguinte: para t < 2 , g t = 0 e para t ≥ 2 , a g t = t - 3 ...

g t = 0 ,   s e   0 ≤ t ≤ 2 t - 3 ,   s e   2 ≤ t  

Para a g t ser igual a f t , precisamos agora levar em consideração que para t > 3 , temos que ter g t = - 1 . A gente consegue chegar nesse valor se subtrairmos t - 3 u 2   t por t - 2 u 3 t , afinal de contas, após t = 3 , teremos...

t - 3 - t - 2 = - 1

Então...

g t = t - 3 u 2   t - t - 2 u 3 t = 0 ,   s e   0 ≤ t ≤ 2 t - 3 ,   s e   2 ≤ t ≤ 3 - 1 ,   s e   t ≥ 3

Pronto!

f t = t - 3 u 2   t - t - 2 u 3 t

Passo 2

Agora é partir pro abraço e calcular a transformada!

Lembrando que:  

  L   u a t f t - a =   e - a s F s

L [ 1 ] =   1 s ,   s > 0

L [ t m ] =   m ! s m + 1 ,   s > 0

Passo 3

Pra facilitar então, vamos escrever a nossa f t assim, oh:

f t = t - 3 u 2   t - t - 2 u 3 t         →

f t = t - 2 u 2   t + 1 - 2 u 2   t - t - 3 u 3 t + 2 - 3 u 3 t

Fizemos isso, pois agora utilizando o Passo 2, podemos falar a transformada e f t ...

L f t = e - 2 s 1 s 2 -   e - 2 s 1   s -   e - 3 s 1 s 2 + e - 3 s   2 s

Resposta

L f t = e - 2 s 1 s 2 -   e - 2 s 1   s -   e - 3 s 1 s 2 + e - 3 s   2 s