Calcule a transformada de Laplace da seguinte função, indicando para que valores da variável a transformada é válida:
Passo 1
Começamos aplicando a transformada em toda a função:
E usamos a linearidade da transformada para separá-las:
Passo 2
Agora, vamos olhar para cada transformada que sobrou individualmente.
De forma geral, temos que o degrau vai ter esse efeito na transformada:
Aí você pode pensar que não temos esse caso no problema, pois é:
E não
Mas a função é -periódica, isso significa exatamente que:
Portanto:
E por tabela, vamos ter:
Então:
Temos que analisar agora para quais valores de a transformada é válida. Para isso, lembramos da definição:
Essa integral, e consequentemente a transformada, só irá convergir com certeza se o valor na exponencial for menor que zero. Então, substituímos nossa expressão da transformada e vamos ter isso aqui:
Olhando para exponencial, vemos que precisamos que para garantir a convergência. Então, vamos ter:
Legal. Uma já foi.
Passo 3
Vamos ver agora . Sempre que aparecer uma exponencial multiplicando uma outra função vamos ter a situação na forma:
Ou seja, a transformada vai aparecer deslocada. Bem, no nosso caso temos:
A transformada do cosseno, por tabela é:
Então:
E nossa derivada deslocada vai essa lindeza aí:
Para saber os valores de , substituímos na definição:
Olhando para a exponencial, vemos que precisamos que:
Assim, vamos ter:
Passo 4
Já temos todas a transformadas que precisamos. Aí então vai ficar:
Para determinar os valores de , pegamos sempre o caso mais restrito, que é justamente , então temos:
E é isso aí!