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Exercícios Resolvidos de Transformada de Laplace da Função Degrau

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Enunciado

Questão 2: Calcule a transformada de Laplace das seguintes funções, indicando para que valores da variável s a transformada é válida.

b )   f 2 t = u 4 π t cos ⁡ t + e - 2 t t 3 ,   t ≥ 0 ;

Passo 1

Bem, primeiro vamos aplicar Laplace na equação:

F 2 s = L u 4 π t cos ⁡ t + e - 2 t t 3 s  

Por linearidade da transformada sabemos que:

F 2 s = L u 4 π t cos ⁡ t + L e - 2 t t 3

Agora calculemos cada um das Laplace!

Passo 2

Primeiro vamos calcular...

L u 4 π t cos ⁡ t

Ora, sabemos o que a função degrau faz com a transformada neh?

L u a f t - a = e - a s F s

Agora, no nosso caso, não temos cos ⁡ t - 4 π e sim cos ⁡ t . Ora, mas se você desmembrar:

cos ⁡ t - 4 π = cos ⁡ t cos ⁡ 4 π + sin ⁡ t sin ⁡ 4 π →

Como sin ⁡ 4 π = 0 e cos ⁡ 4 π = 1 ...

cos ⁡ t - 4 π = cos ⁡ t

Logo...

L u 4 π t cos ⁡ t = L u 4 π t cos ⁡ t - 4 π =

e - 4 π s L cos ⁡ t = e - 4 π s s s 2 + 1

s > 0

Passo 3

Por último...

L e - 2 t t 3

Essa daí segue a Laplace de função vezes uma exponencial:

L e a t f x = F s - a

Então, como a transformada de t 3 é...

L t 3 = 3 ! s 4

Então...

L e - 2 t t 3 = 3 ! s + 2 4

Válido para s > - 2 .

Passo 4

Logo...

F 2 s = L u 4 π t cos ⁡ t + L e - 2 t t 3   →

F 2 s = e - 4 π s s s 2 + 1 + 3 ! s + 2 4

Válido para s > 0 e s > - 2 , logo apenas válido para s > 0 !

Resposta

F 2 s = e - 4 π s s s 2 + 1 + 3 ! s + 2 4   ,       s > 0