Questão 2: Calcule a transformada de Laplace das seguintes funções, indicando para que valores da variável a transformada é válida.
Passo 1
Bem, calcular a transformada do módulo não rola, neh? Então que tal transformar o módulo em uma definição de função por partes?
Bem
Se fizermos um esboço dessa parábola aí para ter uma ideia, ganhamos o seguinte:
Ora! O módulo elimina o negativo da função, então...
Beleza, agora como é...
Então...
Passo 2
Agora vamos tentar escrever esse negócio em termos de degrau, pois a gente sabe aplicar transformadas de degrau !
Ora...
Vamos ter que colocar um degrau em e um degrau em de tal forma que a partir de a gente fique apena com , que tal assim?:
Funcionou, neh? Afinal enquanto estivermos entre e , o degrau de , a partir de ele é e fazendo a subtração acontecer !
Como a transformada do degrau é:
Então seria legal se transformássemos:
Passo 3
Aplicando Laplace...
Pow, então vamos calcular cada um separadamente!
Passo 4
Como ...
aqui.
Passo 5
Bem, quando temos um multiplicando, calculemos assim:
Então...
aqui.
E
Pela fórmula...
Aqui .
Então...
Então concluímos que .
Passo 6
Por último...
Já calculamos...
.
Passo 7
Então, concluímos que....
Como ...