(Adaptada) Um avião, de comprimento total de 16,8 m, é projetado para voar a 680 m/s a uma altitude padrão de 8.000 m. Um modelo na escala 1:30 deve ser testado em um túnel de vento com hélio pressurizado a 20°C. Qual é a pressão adequada do túnel em atm?
Dica: para similaridade em escoamentos supersônicos, usamos os números adimensionais Reynolds e Mach.
Passo 1
Vamos aprender a usar um novo número adimensional nesse exercício: o número de Mach
Mas antes de usá-lo vamos identificar as variáveis no modelo e no protótipo
Protótipo (avião):
- o protótipo está submetido ao ar a 8000 m de altitude, com isso
(velocidade do som)
Modelo:
- o modelo está submetido ao hélio a 20°C
(velocidade do som)
Não conhecemos a velocidade do modelo, nem a massa específica e queremos saber a pressão. Então, a estratégia é encontrar a velocidade pelo número de Mach, a velocidade por Reynolds e assim encontrar a pressão pela equação dos gases (pV=nRT) 😉
Mas calma, porque vamos passo a passo!
Passo 2
O número de Mach, conforme vimos na tabela de número adimensionais da teoria, é
Considerando a similaridade de escoamento supersônico e seguindo a dica do enunciado, vamos igualar o Mach do modelo e do protótipo
Substituindo os valores que conhecemos
Encontramos então a velocidade do modelo. Super alta! Vamos usá-la em Reynolds!
Passo 3
Também por similaridade podemos igualar o número de Reynolds do protótipo e do modelo. Assim, vamos descobrir a massa específica do Hélio nas condições do escoamento
Lembrando de Reynolds:
Igualando
Substituindo
Reorganizando
Com isso, encontramos que a massa específica do hélio nessas condições é
Passo 4
Agora que sabemos a massa específica do hélio, é hora de encontrar o que foi pedido no enunciado: a pressão. Para isso, vamos considerar a equação dos gases
Isolando a pressão
Sabendo que o número de mols é a massa sobre massa molar
Assim, relacionamos pressão e massa específica!
Usando a constante do gás Hélio R a 20°C (293 K)
E assim encontramos a pressão do Hélio nas condições do modelo!