Quando testada em água a 20°C escoando a 2 m/s, uma esfera de 8 cm de diâmetro apresenta um arrasto de 5 N. Qual será a velocidade e a força de arrasto sobre um balão meteorológico de 1,5 m de diâmetro atracado no ar nas condições padrão ao nível do mar sob condições dinamicamente semelhantes?
Passo 1
Primeiro passo que vamos fazer é organizar o que foi dado e o que foi pedido. Vamos lá? É importante notar que entre modelo e protótipo temos fluidos diferentes nesse exercício!
Água a 20°C (fluido usado no teste – modelo) :
Ar a nível do mar (fluido usado no balão – protótipo) :
Velocidade de teste (modelo) do fluido
Diâmetro da esfera de teste (modelo)
Diâmetro do balão (protótipo)
Força de arrasto no caso teste (modelo)
Com todos esse valores, precisamos calcular velocidade e força de arrasto no protótipo. Como há semelhança dinâmica, podemos igualar números adimensionais.
Passo 2
Pela similaridade dinâmica (e consequentemente cinemática) o regime de escoamento é o mesmo. Um número adimensional que diz respeito ao tipo de escoamento e que envolve velocidades e demais variáveis que já conhecemos é o número de Reynolds
Igualando
Substituindo o que já sabemos do enunciado
Então, a velocidade do ar no balão (protótipo) é
Opa! Encontramos a primeira pergunta do exercício
Passo 3
Para responder a segunda pergunta (Qual a força de arrasto no protótipo?) precisamos de um número adimensional que a englobe, certo?
Esse número é o coeficiente de arrasto.
Sendo V a velocidade do fluido e A a área projetada na direção do escoamento
A área projetada de uma esfera é ou . Então, para o modelo, temos a seguinte área
Por sua vez, a área projetada do balão também é um círculo. Logo, para o protótipo,
Pela semelhança dinâmica, igualamos o coeficiente de arrasto no modelo e no protótipo
Substituindo os valores que conhecemos até agora
Simplificando
Substituindo os diâmetros
Fazendo as contas
E assim, encontramos a força de arrasto no balão 😉