Um estudante precisa medir o arrasto sobre um protótipo de dimensão característica movendo-se à velocidade em ar nas condições atmosféricas padrão. Ele constrói um modelo de dimensão característica , de forma que a relação é um certo fator f. Ele então mede o arrasto sobre o modelo em condições dinamicamente semelhantes (também com ar nas condições atmosféricas padrão). O estudante afirma que a força de arrasto sobre o protótipo será idêntica àquela medida no modelo. Essa afirmação está correta? Explique.
Passo 1
Nesse exercício, temos que comparar a força de arrasto do modelo com a força de arrasto do protótipo.
O número adimensional que tem essa variável é o coeficiente de arrasto ! Olha aí
Sendo ρ a massa específica do fluido, U a velocidade do fluido (que no caso é o ar) e A a área projetada do objeto na direção do escoamento.
Como o enunciado diz que as condições entre modelo e protótipo são dinamicamente semelhantes, podemos igualar os coeficientes de arrasto
Assim,
Como no modelo e no protótipo, a massa específica se mantém pois é o mesmo fluido, podemos simplificar
Para encontrar a relação entre as forças de arrasto, precisamos saber as relações entre as velocidades e entre as áreas.
Passo 2
Começando pelas velocidades. :D
O enunciado garante que temos semelhança dinâmica, certo? Com isso, temos semelhana cinemática, o que significa que o regime de escoamento se mantém. Logo, o número de Reynolds no protótipo e no modelo é o mesmo!
Sendo que
Substituindo
Como é o mesmo fluido nos dois casos, a massa específica e a viscosidade dinâmica se mantém e podemos cortar
Daí, vamos lembrar que o enunciado deu a relação entre os diâmetros
O que nos dá
Logo, a relação entre as velocidades é
Substituindo na nossa igualdade entre os coeficientes de arrasto CD
Substituindo a relação das velocidades
Passo 3
Beleza! Agora é hora de analisar as áreas e assim encontrar a relação entre elas. Como a dimensão característica é d (ou seja, um diâmetro), o modelo e o protótipo são esferas!
A área projetada da esfera é ou . Substituindo
Simplificando
Lembrando que a relação entre os diâmetros é
Substituindo
Finalmente
Logo, o estudante estava certo! A força de arrasto do modelo é a mesma força de arrasto do protótipo!
Resposta
Sim, o estudante estava certo, pois pela análise por semelhança (dinâmica) verificamos que para esse caso, as forças de arrasto no modelo e no protótipo são iguais.