Um estudante precisa medir o arrasto sobre um protótipo de dimensão característica d p movendo-se à velocidade U p em ar nas condições atmosféricas padrão. Ele constrói um modelo de dimensão característica d m , de forma que a relação d p / d m é um certo fator f. Ele então mede o arrasto sobre o modelo em condições dinamicamente semelhantes (também com ar nas condições atmosféricas padrão). O estudante afirma que a força de arrasto sobre o protótipo será idêntica àquela medida no modelo. Essa afirmação está correta? Explique.

Passo 1

Nesse exercício, temos que comparar a força de arrasto F D do modelo com a força de arrasto do protótipo.

O número adimensional que tem essa variável é o coeficiente de arrasto C D ! Olha aí

C D = F D 1 2 ρ U 2 A

Sendo ρ a massa específica do fluido, U a velocidade do fluido (que no caso é o ar) e A a área projetada do objeto na direção do escoamento.

Como o enunciado diz que as condições entre modelo e protótipo são dinamicamente semelhantes, podemos igualar os coeficientes de arrasto

C D m = C D p

Assim,

F D m 1 2 ρ U 2 A m = F D p 1 2 ρ U 2 A p

Como no modelo e no protótipo, a massa específica se mantém pois é o mesmo fluido, podemos simplificar

F D m U m 2   A m = F D p U p 2   A p

Para encontrar a relação entre as forças de arrasto, precisamos saber as relações entre as velocidades e entre as áreas.

Passo 2

Começando pelas velocidades. :D

O enunciado garante que temos semelhança dinâmica, certo? Com isso, temos semelhana cinemática, o que significa que o regime de escoamento se mantém. Logo, o número de Reynolds no protótipo e no modelo é o mesmo!

R e m = R e p

Sendo que

R e =   ρ U d μ

Substituindo

ρ U m d m μ =   ρ U p d p μ

Como é o mesmo fluido nos dois casos, a massa específica e a viscosidade dinâmica se mantém e podemos cortar

U m d m =   U p d p

Daí, vamos lembrar que o enunciado deu a relação entre os diâmetros

d p d m = f

O que nos dá

U m =   U p . f

Logo, a relação entre as velocidades é

U m U p = f

Substituindo na nossa igualdade entre os coeficientes de arrasto CD

F D m U m 2   A m = F D p U p 2   A p ⇒ F D m U m U p 2   A m = F D p A p

Substituindo a relação das velocidades

F D m f 2   A m = F D p A p

Passo 3

Beleza! Agora é hora de analisar as áreas e assim encontrar a relação entre elas. Como a dimensão característica é d (ou seja, um diâmetro), o modelo e o protótipo são esferas!

A área projetada da esfera é π R 2 ou π d 2 / 4 . Substituindo

F D m f 2 .   π ( d m ) 2 4 = F D p π ( d p ) 2 4

Simplificando

F D m f 2 ( d m ) 2 = F D p ( d p ) 2

Lembrando que a relação entre os diâmetros é

d p / d m = f

d p = f d m

Substituindo

F D m f 2 ( d m ) 2 = F D p ( f d m ) 2

F D m f 2 = F D p f 2

Finalmente

F D m = F D p

Logo, o estudante estava certo! A força de arrasto do modelo é a mesma força de arrasto do protótipo!

Resposta

Sim, o estudante estava certo, pois pela análise por semelhança (dinâmica) verificamos que para esse caso, as forças de arrasto no modelo e no protótipo são iguais.

Exercícios Resolvidos de Análise por Semelhança

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