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Exercícios Resolvidos de Campo Elétrico Gerado por um Disco

Ver Teoria
Exercício 5123467891011

Enunciado

UFRJ – Física 3 2020.2 – P1 – Questão 28

Um disco circular isolante e fino, de raio R , tem uma densidade superficial de carga dada por σ r = σ 0 ( R / r ) . Qual é o módulo do campo elétrico produzido pelo disco em um ponto localizado sobre o eixo perpendicular ao plano do disco e que passa pelo seu centro, a uma distância z do mesmo?

Escolha uma:

  1. σ 0 z 4 ϵ 0 R 2 + z 2 1 / 2
  2. σ 0 R 2 2 ϵ 0 z R 2 + z 2 1 / 2
  3. σ 0 z R 2 2 ϵ 0 R 2 + z 2 1 / 2
  4. σ 0 R 2 4 ϵ 0 R 2 + z 2 1 / 2
  5. σ 0 R 3 4 ϵ 0 R 2 + z 2 1 / 2

Passo 1

Fala galera, tudo bem? O diferencial de área de um disco é:

d A = r d r θ

Com 0 < r < R e 0 < θ < 2 π . E o diferencial de carga é:

d q = σ d A = σ 0 R r r   d r   d θ = σ 0 R   d r   d θ

A componente do campo elétrico que sobrevive, por causa da simetria, é proporcional ao cosseno do ângulo formado com o eixo z . Assim temos:

d E z = d E   c o s θ = z r 2 + z 2

O diferencial do campo é:

d E = 1 4 π ϵ 0 d q r 2

Agora é só juntar tudo e integrar!

Passo 2

Montando a integral temos:

E = ∫ d E   c o s θ = ∫ 1 4 π ϵ 0 d q r 2   . z r 2 + z 2

E lembrando que d q = σ 0 R   d r   d θ e que 0 < r < R e 0 < θ < 2 π , teremos a seguinte integral pra resolver:

E = σ 0 R z 4 π ϵ 0 ∫ 0 2 π ∫ 0 R   d r d θ ( r 2 + z 2 ) 3 / 2

Como o integrando independe de θ , já podemos fazer a integração em d θ , que resulta em 2 π :

E = 2 π .   σ 0 R z 4 π ϵ 0 . ∫ 0 R   d r ( r 2 + z 2 ) 3 / 2

E consultando uma tabela de integrais, temos:

∫ d x x 2 + a 2 3 / 2 = x a 2 x 2 + a 2 + c t e

Aqui temos que a = z e x = r , então aplicando o resultado aqui e nos limites de integração temos:

E = σ 0 R z 2 ϵ 0 R z 2 R 2 + z 2 - 0 = σ 0 R 2 2 ϵ 0 z R 2 + z 2

Beleza?

E analisando as alternativas, a correta é a (b).

Espero ter ajudado!

Resposta

( b )

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