Exercícios Resolvidos de Campos Cruzados

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Enunciado

Um elétron é abandonado do repouso em uma região do espaço onde há um campo elétrico uniforme  E → no plano da página, apontando para o topo da mesma, e um campo magnético uniforme  B → apontando para fora do plano da página. Nessa situação, qual caminho na figura abaixo melhor descreve a trajetória inicial do elétron nessa região?

  1. 5
  2. 1
  3. 2
  4. 3
  5. 4
  6. 6
  7. 7

Passo 1

Para resolvermos essa questão, vamos colocar o sistema de referência como mostrado à esquerda na Figura abaixo. Dada essa referência, podemos escrever, respectivamente, os campos elétrico e magnético da seguinte maneira:

E → = E →     y ^     ;       B → = B →   z ^       .  

Como temos um campo elétrico E → apontando na direção do eixo + O y , então a força elétrica   F → E sobre o elétrico será

F → E = - e E → = e E →   - y ^   .

Passo 2

Vamos olhar, agora, para a força magnética   F → M em cada uma das trajetórias indicadas.

A) Trajetórias 1 e 2 da Figura:

Em ambas trajetórias, o vetor velocidade inicial   v → do elétron é   v → = v →   ( - x ^ ) . Por isso, a força magnética é dada por

F → M = - e     v → × B → = - e v → - x ^ × B →   z ^ = e v →   B → x   ^ ×   z ^   ,

onde  x ^   ×   z ^ = - y ^ é o produto vetorial entre os vetores unitários  x ^ e y ^ . Substituindo esse produto vetorial na expressão acima para a força, temos

F → M = e v → B → - y ^ .

Portanto, a força magnética   F → M está ao longo do eixo – O y . Agora, dá uma olhada na Figura acima e repara que, em ambas as trajetórias 1 e 2, existiria uma força atuando sobre o elétron que o puxaria para dentro da curva. Por isso, essa força deveria ter uma componente também na direção do eixo X . Beleza?

Bom, como tanto a força elétrica   F → E como a força magnética F → M estão na direção - y ^ , podemos eliminar as trajetórias iniciais 1 e 2 como possíveis trajetórias para o elétron, já que as forças nesses casos teria uma componente também na direção do eixo O x .

Passo 3

B) Trajetórias 5 e 6 da Figura:

Agora, também em ambas as trajetórias, o vetor velocidade inicial  v → do elétron é  v → = v →   ( + x ^ ) . Então, a força magnética nesse caso é dada por

F → M = - e     v → × B → = - e v → + x ^ × B →   z ^ = - e v →   B → x   ^ ×   z ^   ,

onde   x ^   ×   z ^ = - y ^ é o produto vetorial entre os vetores unitários  x ^ e y ^ . Substituindo esse produto vetorial na expressão acima para a força, temos

F → M = e v → B → + y ^ .

De novo, a força magnética, assim como a força elétrica, só tem componente na direção Y . Como essas são as duas únicas forças atuando sobre o elétron, as trajetórias 5 e 6 não são possíveis, já que não há componente na direção X da força que puxa a carga para dentro da trajetória.

Passo 4

C) Trajetória 7 da Figura:

Aqui, o vetor velocidade inicial   v → do elétron é   v → = v →   ( + y ^ ) . Então, a força magnética nesse caso é dada por

F → M = - e v → × B → = - e v → + y ^ × B →   z ^ = - e v →   B → y   ^ ×   z ^   ,

onde    y ^   ×   z ^ = + x ^ é o produto vetorial entre os vetores unitários  y ^ e   z ^ . Substituindo esse produto vetorial na expressão acima para a força, temos

F → M = e v → B → - x ^ .

Por essa razão, a trajetória inicial 7, que é retilínea apontando para o eixo + O y , não é possível.

Passo 5

D) Trajetórias 3 e 4 da Figura:

Aqui, o vetor velocidade inicial  v → do elétron é  v → = v →   ( - y ^ ) . Por isso, a força magnética é dada por

F → M = - e     v → × B → = - e v → - y ^ × B →   z ^ = e v →   B → y   ^ ×   z ^   ,

onde   y ^   ×   z ^ = + x ^ é o produto vetorial entre os vetores unitários   y ^ e z ^ . Substituindo esse produto vetorial na expressão acima para a força, temos

F → M = e v → B → + x ^ .

Por essa razão, descartamos a trajetória 3 como possibilidade, já que a força atuando sobre o elétron nesse caso teria uma componente ao longo do eixo – O x .

Resta, então, a trajetória 4. Nessa trajetória, só para a gente fechar a discussão completa de todos os casos, temos uma força que atua puxando o elétron para dentro da curva. Por isso, essa força deve ter uma componente apontando para o eixo + O x , além da força elétrica   F → E = - e | E → | ( - y ^ ) .

Portanto, a trajetória inicial seguida pelo elétron é a de número 4.

Resposta

Letra e).

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