Duas partículas e estão em movimento e suas trajetórias respectivas são descritas por
Com
Onde representa um instante de tempo. Então:
- A trajetória da partícula está contida numa hipérbole que intersecta o eixo , enquanto a trajetória da partícula está contida numa elipse.
- As trajetórias das partículas se intersectam em dois pontos
- As partículas e colidem num instante
- A trajetória da partícula está contida numa hipérbole que intersecta o eixo , enquanto a trajetória da partícula está contida numa elipse.
- A partícula percorre uma elipse completa
Passo 1
As opções falam de duas coisas:
- Qual curva que essas parametrizações representam?
- Será que as partículas se cruzam ou se chocam?
O jeito vai ser testar essas coisas.
Vamos começar vedno qual curva as parametrizações das trajetórias das curvas representam.
Passo 2
A trajetória da partícula é descrita por
Então temos que
Agora precisamos achar uma relação entre e para saber que curva é essa...
Como estamos falando de secante e tangente, provavelmente vamos tirar essa relação entre e a partir de relações trigonométricas.
E, de fafo, existe uma relação trigonométrica, que eu sei que provavelmente você não lembra (tudo bem, eu também não lembrava) que relaciona a secante com a tangente. É essa daqui:
A partir daí, podemos tirar que na nossa curva nós temos
Arrumando melhor isso daí
E isso representa uma cônica que a gente conhece, mais especificamente, uma hipérbole, que tá cortando o eixo (variável com sinal positivo).
Então a trajetória da partícula está contida numa hipérbole que intersecta o eixo .
Com isso a gente meio que já mata a questão, né?
Porque só tem uma opção que fala disso...
Mas vamos continuar e provar a segunda parte dessa opção, que diz que a trajetória da partícula está contida numa elipse.
Passo 3
A trajetória da partícula é dada por
Então
De novo, temos funções trigonométricas, então provavelmente precisaremos usar alguma relação da trigonometria pra achar a relação entre e .
Mas desse vez temos seno e cosseno, então de repente da pra usar aquela relação batidona, que é a relação fundamental da trigonometria:
Essa nem precisou de muito esforço pra lembrar né?!
Beleza, então a partir dela a gente pode tirar que
E isso nada mais é que a equação de uma elipse centrada na origem.
Show de bola, provamos tudo, achamos a opção certa e nem precisamos testar se as partículas se cruzavam ou chocavam!
Mas antes de terminar, só uma coisinha: vê se antes da prova você pega as relações trigonométricas pra dar uma olhadinha e uma relembrada... Aí você garante que se tiver uma questão dessa, você vai lembrar